बिंदुओं (3, -2, -5), और (3, -2, 6) से गुज़रने वाली रेखा का सदिश तथा कार्तीय रूपों में समीकरण को ज्ञात कीजिए।
Exercise-11.2-9
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माना $\vec a$ तथा $\vec b$ क्रमशः बिंदुओं, (3, -2, -5) तथा (3, -2, 6) के स्थिति सदिश हैं।
$\therefore$ $\vec{a}=3 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}-5 \hat{{k}}$ तथा $\vec{b}=3 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}+6 \hat{{k}}$
हम जानते हैं कि दो बिंदुओं, जिनके स्थिति सदिश $\vec a$ तथा $\vec b$ हैं, से गुजरने वाली रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r}=\vec{a}+\lambda$ $(\vec{b}-\vec{a})$ है।
$\therefore \vec{r}=3 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}-5 \hat{{k}}+\lambda$$[(3 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}+6 \hat{{k}})-(3 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}-5 \hat{{k}})]$
$\Rightarrow \vec{r}=3 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}-5 \hat{{k}}+\lambda$$[3 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}+6 \hat{{k}}-3 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}+5 \hat{{k}}]$
$\Rightarrow \vec{r}=3 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}-5 \hat{{k}}+\lambda(11 \hat{{k}})$ ...(i)
जोकि दी गई रेखा का सदिश समीकरण है
समी (i) में $\vec{r}=x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}$ का मान रखने पर,
$x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}=3 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}+(11 \lambda-5) \hat{{k}}$
समीकरण के दोनों ओर $\hat{{i}}, \hat{{j}}$ तथा $\hat{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,
x = 3, y = -2 तथा z = 11$\lambda$ - 5
$\therefore \frac{x-3}{0}=\frac{y+2}{0}=\frac{z+5}{11}$ (यहाँ, $\frac{x-3}{0} \neq \infty, \frac{y+2}{0} \neq \infty$)
जोकि दी गई रेखा का अभीष्ट कार्तीय रूप है।
$\therefore$ $\vec{a}=3 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}-5 \hat{{k}}$ तथा $\vec{b}=3 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}+6 \hat{{k}}$
हम जानते हैं कि दो बिंदुओं, जिनके स्थिति सदिश $\vec a$ तथा $\vec b$ हैं, से गुजरने वाली रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r}=\vec{a}+\lambda$ $(\vec{b}-\vec{a})$ है।
$\therefore \vec{r}=3 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}-5 \hat{{k}}+\lambda$$[(3 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}+6 \hat{{k}})-(3 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}-5 \hat{{k}})]$
$\Rightarrow \vec{r}=3 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}-5 \hat{{k}}+\lambda$$[3 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}+6 \hat{{k}}-3 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}+5 \hat{{k}}]$
$\Rightarrow \vec{r}=3 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}-5 \hat{{k}}+\lambda(11 \hat{{k}})$ ...(i)
जोकि दी गई रेखा का सदिश समीकरण है
समी (i) में $\vec{r}=x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}$ का मान रखने पर,
$x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}=3 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}+(11 \lambda-5) \hat{{k}}$
समीकरण के दोनों ओर $\hat{{i}}, \hat{{j}}$ तथा $\hat{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,
x = 3, y = -2 तथा z = 11$\lambda$ - 5
$\therefore \frac{x-3}{0}=\frac{y+2}{0}=\frac{z+5}{11}$ (यहाँ, $\frac{x-3}{0} \neq \infty, \frac{y+2}{0} \neq \infty$)
जोकि दी गई रेखा का अभीष्ट कार्तीय रूप है।
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