समतलों, जिनके सदिश समीकरण $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})=5$ और $\vec{r} \cdot(3 \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k})=3$ हैं, के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
Exercise-11.3-12
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दिए गए समतल के समीकरण निम्न हैं,
$\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})=5$ और $\vec{r} \cdot(3 \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k})=3$
यदि समतल $\vec{r}_{1} \cdot \vec{n}_{1}=d_{1}$ और $\vec{r}_{2} \cdot \vec{n}_{2}=d_{2}$ पर अभिलंब क्रमशः $\vec{n}_{1}$ और $\vec{n}_{2}$ हैं, तब कोण
$\cos \theta = \left|\frac{\vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{2}}{\left|\vec{n}_{1}\right|\left|\vec{n}_{2}\right|}\right| ...(i)$
यहाँ $\vec{n}_{1}=2 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}-3 \hat{{k}}$ और $\vec{n}_{2}=3 \hat{{i}}-3 \hat{{j}}+5 \hat{{k}}$
$\therefore \vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{2}=(2 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}-3 \hat{{k}}) \cdot(3 \hat{{i}}-3 \hat{{j}}+5 \hat{{k}}) $
$= 2 \cdot 3 + 2 \cdot (-3) + (-3) \cdot 5 = 6 - 6 - 15 = -15$
$\left|\vec{n}_{1}\right|=\sqrt{(2)^{2}+(2)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{4+4+9}=\sqrt{17}$
$\left|\vec{n}_{2}\right|=\sqrt{(3)^{2}+(-3)^{2}+(5)^{2}}=\sqrt{9+9+25}=\sqrt{43}$
समी $(i)$ में, $\vec{n}_{1}, \vec{n}_{2}$ और $\vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{2}$ का मान रखने पर,
$\cos \theta = \left|\frac{-15}{\sqrt{17} \sqrt{43}}\right|$
$\Rightarrow \cos \theta = \frac{15}{\sqrt{731}}$
$\Rightarrow \theta = \cos^{-1}\left(\frac{15}{\sqrt{731}}\right)$
$\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})=5$ और $\vec{r} \cdot(3 \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k})=3$
यदि समतल $\vec{r}_{1} \cdot \vec{n}_{1}=d_{1}$ और $\vec{r}_{2} \cdot \vec{n}_{2}=d_{2}$ पर अभिलंब क्रमशः $\vec{n}_{1}$ और $\vec{n}_{2}$ हैं, तब कोण
$\cos \theta = \left|\frac{\vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{2}}{\left|\vec{n}_{1}\right|\left|\vec{n}_{2}\right|}\right| ...(i)$
यहाँ $\vec{n}_{1}=2 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}-3 \hat{{k}}$ और $\vec{n}_{2}=3 \hat{{i}}-3 \hat{{j}}+5 \hat{{k}}$
$\therefore \vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{2}=(2 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}-3 \hat{{k}}) \cdot(3 \hat{{i}}-3 \hat{{j}}+5 \hat{{k}}) $
$= 2 \cdot 3 + 2 \cdot (-3) + (-3) \cdot 5 = 6 - 6 - 15 = -15$
$\left|\vec{n}_{1}\right|=\sqrt{(2)^{2}+(2)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{4+4+9}=\sqrt{17}$
$\left|\vec{n}_{2}\right|=\sqrt{(3)^{2}+(-3)^{2}+(5)^{2}}=\sqrt{9+9+25}=\sqrt{43}$
समी $(i)$ में, $\vec{n}_{1}, \vec{n}_{2}$ और $\vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{2}$ का मान रखने पर,
$\cos \theta = \left|\frac{-15}{\sqrt{17} \sqrt{43}}\right|$
$\Rightarrow \cos \theta = \frac{15}{\sqrt{731}}$
$\Rightarrow \theta = \cos^{-1}\left(\frac{15}{\sqrt{731}}\right)$
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