दर्शाइए कि अवकल समीकरण $x \frac{d y}{d x}-y+x \sin \left(\frac{y}{x}\right)=0$ समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।
Exercise-9.5-8
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दिया है, $\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}-\sin \frac{y}{x} ...(i)$
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः $\frac{y}{x}=v$ रखने पर,
$\Rightarrow y = vx $
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
समी. $(i)$ से $, v + x \frac{d v}{d x} = v - \sin v $
$\Rightarrow cosec \ v dv = -\frac{1}{x} d x$
समाकलन करने पर $, \int \operatorname{cosec} v d v=-\int \frac{d x}{x}$
$\Rightarrow \log |cosec \ v - \cot v| = -\log |x| + A $
$(\because \int cosec \ x dx = \log |cosec x - \cot x|)$
$\Rightarrow \log |(cosec \ v - \cot v)| + \log |x| = A $
$\Rightarrow \log |(cosec v - \cot v) x| = A$
$\Rightarrow |x(cosec v - \cot v)| = e^A $
$\Rightarrow x\left(\frac{1}{\sin v}-\frac{\cos v}{\sin v}\right)=e^{A}$
$\Rightarrow x\left(\frac{1-\cos v}{\sin v}\right)=e^{A} $
$\Rightarrow x(1 - \cos v) = e^A \sin v$
$\Rightarrow x\left[1-\cos \left(\frac{y}{x}\right)\right]=C \sin \left(\frac{y}{x}\right) $
$(C = e^A$ तथा $v = \frac{y}{x}$ रखने पर$)$
जो दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः $\frac{y}{x}=v$ रखने पर,
$\Rightarrow y = vx $
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
समी. $(i)$ से $, v + x \frac{d v}{d x} = v - \sin v $
$\Rightarrow cosec \ v dv = -\frac{1}{x} d x$
समाकलन करने पर $, \int \operatorname{cosec} v d v=-\int \frac{d x}{x}$
$\Rightarrow \log |cosec \ v - \cot v| = -\log |x| + A $
$(\because \int cosec \ x dx = \log |cosec x - \cot x|)$
$\Rightarrow \log |(cosec \ v - \cot v)| + \log |x| = A $
$\Rightarrow \log |(cosec v - \cot v) x| = A$
$\Rightarrow |x(cosec v - \cot v)| = e^A $
$\Rightarrow x\left(\frac{1}{\sin v}-\frac{\cos v}{\sin v}\right)=e^{A}$
$\Rightarrow x\left(\frac{1-\cos v}{\sin v}\right)=e^{A} $
$\Rightarrow x(1 - \cos v) = e^A \sin v$
$\Rightarrow x\left[1-\cos \left(\frac{y}{x}\right)\right]=C \sin \left(\frac{y}{x}\right) $
$(C = e^A$ तथा $v = \frac{y}{x}$ रखने पर$)$
जो दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
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