अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए: $ (x^2 - 1)\frac{d y}{d x} = 1$ जहाँ $y = 0$ तथा $x = 2$
Exercise-9.4-12
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दिया है, $(x^2 - 1)\frac{d y}{d x} = 1$
चरों का पृथक्करण करने पर, $d y=\frac{1}{x\left(x^{2}-1\right)} d x$
$\Rightarrow d y=\frac{1}{x(x-1)(x+1)} d x$
समाकलन करने पर, $\int d y=\int \frac{1}{x(x-1)(x+1)} d x ...(i)$
माना $\frac{1}{x(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1} ($आंशिक भिन्न द्वारा$) ...(ii)$
$\Rightarrow \frac{1}{x(x-1)(x+1)}$
$=\frac{A(x-1)(x+1)+B x(x+1)+C x(x-1)}{x(x-1)(x+1)} $
$\therefore 1 = A(x^2 - 1) + B(x)(x + 1) + C(x)(x - 1)$
$\Rightarrow 1 = Ax^2 - A + Bx^2 + Bx + Cx^2 - Cx$
$\Rightarrow 1 = x^2(A + B + C) + x(B - C) + (-A)$
दोनों ओर अचर पद, $x$ तथा $x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर,
$A + B + C = 0 ...(iii)$
$B - C = 0 ...(iv)$
तथा $-A = 1 ...(v)$
$A$ का मान समी. $(iii)$ में रखने पर,
$B + C = 1 ...(vi)$
समी. $(iv)$ तथा $(vi)$ को जोड़ने पर, $2B = 1$
$\Rightarrow B = \frac12$
तब, समी. $(iv)$ से, $C=\frac{1}{2}$ तथा $B=\frac{1}{2}$
$A, B$ तथा $C$ के मान समी. $(ii)$ में रखने पर,
$\frac{1}{x(x-1)(x+1)}$
$=-\frac{1}{x}+\frac{1}{2(x-1)}+\frac{1}{2(x+1)}$
$\Rightarrow\int d y=-\int \frac{1}{x} d x+\frac{1}{2} \int \frac{1}{x-1} d x$
$+\frac{1}{2} \int \frac{1}{x+1} d x$
अब समी. $(i)$ से, $y = -\log |x| + \frac{1}{2}\log |(x - 1)| + \frac{1}{2}\log |(x + 1)| + C$
$\Rightarrow y = -\frac{1}{2}\log (x^2) + \frac{1}{2}\log |(x - 1)| + \frac{1}{2}\log |(x + 1)| + C$
$\Rightarrow y=\frac{1}{2}\left[\log \left(\frac{(x-1)(x+1)}{x^{2}}\right)\right]+C (\because \log l + \log m - \log n = \log \frac{{lm}}{n})$
$\Rightarrow y=\frac{1}{2}\left[\log \left|\left(\frac{x^{2}-1}{x^{2}}\right)\right|\right]+C ...(vii)$
$y = 0$ तथा $x = 2$ समी. $(vii)$ रखने पर,
$\therefore 0=\frac{1}{2}\left[\log \left|\left(\frac{2^{2}-1}{2^{2}}\right)\right|\right]+C$
$\Rightarrow C=-\frac{1}{2} \log \left(\frac{3}{4}\right)$
$C$ का मान समी $(vii)$ में रखने पर,
$y=\frac{1}{2} \log \left|\left(\frac{x^{2}-1}{x^{2}}\right)\right|-\frac{1}{2} \log \left(\frac{3}{4}\right)$
जोकि अभीष्ट विशिष्ट हल है।
चरों का पृथक्करण करने पर, $d y=\frac{1}{x\left(x^{2}-1\right)} d x$
$\Rightarrow d y=\frac{1}{x(x-1)(x+1)} d x$
समाकलन करने पर, $\int d y=\int \frac{1}{x(x-1)(x+1)} d x ...(i)$
माना $\frac{1}{x(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1} ($आंशिक भिन्न द्वारा$) ...(ii)$
$\Rightarrow \frac{1}{x(x-1)(x+1)}$
$=\frac{A(x-1)(x+1)+B x(x+1)+C x(x-1)}{x(x-1)(x+1)} $
$\therefore 1 = A(x^2 - 1) + B(x)(x + 1) + C(x)(x - 1)$
$\Rightarrow 1 = Ax^2 - A + Bx^2 + Bx + Cx^2 - Cx$
$\Rightarrow 1 = x^2(A + B + C) + x(B - C) + (-A)$
दोनों ओर अचर पद, $x$ तथा $x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर,
$A + B + C = 0 ...(iii)$
$B - C = 0 ...(iv)$
तथा $-A = 1 ...(v)$
$A$ का मान समी. $(iii)$ में रखने पर,
$B + C = 1 ...(vi)$
समी. $(iv)$ तथा $(vi)$ को जोड़ने पर, $2B = 1$
$\Rightarrow B = \frac12$
तब, समी. $(iv)$ से, $C=\frac{1}{2}$ तथा $B=\frac{1}{2}$
$A, B$ तथा $C$ के मान समी. $(ii)$ में रखने पर,
$\frac{1}{x(x-1)(x+1)}$
$=-\frac{1}{x}+\frac{1}{2(x-1)}+\frac{1}{2(x+1)}$
$\Rightarrow\int d y=-\int \frac{1}{x} d x+\frac{1}{2} \int \frac{1}{x-1} d x$
$+\frac{1}{2} \int \frac{1}{x+1} d x$
अब समी. $(i)$ से, $y = -\log |x| + \frac{1}{2}\log |(x - 1)| + \frac{1}{2}\log |(x + 1)| + C$
$\Rightarrow y = -\frac{1}{2}\log (x^2) + \frac{1}{2}\log |(x - 1)| + \frac{1}{2}\log |(x + 1)| + C$
$\Rightarrow y=\frac{1}{2}\left[\log \left(\frac{(x-1)(x+1)}{x^{2}}\right)\right]+C (\because \log l + \log m - \log n = \log \frac{{lm}}{n})$
$\Rightarrow y=\frac{1}{2}\left[\log \left|\left(\frac{x^{2}-1}{x^{2}}\right)\right|\right]+C ...(vii)$
$y = 0$ तथा $x = 2$ समी. $(vii)$ रखने पर,
$\therefore 0=\frac{1}{2}\left[\log \left|\left(\frac{2^{2}-1}{2^{2}}\right)\right|\right]+C$
$\Rightarrow C=-\frac{1}{2} \log \left(\frac{3}{4}\right)$
$C$ का मान समी $(vii)$ में रखने पर,
$y=\frac{1}{2} \log \left|\left(\frac{x^{2}-1}{x^{2}}\right)\right|-\frac{1}{2} \log \left(\frac{3}{4}\right)$
जोकि अभीष्ट विशिष्ट हल है।
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