दर्शाइए कि अवकल समीकरण $x \cos \left(\frac{y}{x}\right) \frac{d y}{d x}=y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+x$ समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।
example-16
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दिया हुआ अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:
$\frac{d y}{d x}=\frac{y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+x}{x \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$ ...(i)
यहाँ $\frac{d y}{d x}$ = F(x, y) के रूप का अवकल समीकरण है।
यहाँ F(x, y) $=\frac{y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+x}{x \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$ है।
x को $\lambda x$ से एवं y को $\lambda y$ से प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$\mathrm{F}(\lambda x, \lambda y)$ $=\frac{\lambda\left[y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+x\right]}{\lambda\left(x \cos \frac{y}{x}\right)}=\lambda^{0}$[F(x, y)]
F(x, y) शून्य घात वाला समघातीय फलन है, इसलिए दिया हुआ अवकल समीकरण एक समघातीय अवकल समीकरण है। इसको हल करने के लिए हम प्रतिस्थापन करते हैं:
y = vx ...(ii)
समीकरण (ii) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$ ...(iii)
समीकरण (i) में y एवं $\frac{d y}{d x}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v \cos v+1}{\cos v}$
अथवा $x \frac{d v}{d x}=\frac{v \cos v+}{\cos v}$
अथवा $x \frac{d v}{d x}=\frac{1}{\cos v}$
अथवा cos v dv $=\frac{d x}{x}$
इसलिए $\int \cos v d v=\int \frac{1}{x} d x$
अथवा sin v = log |x| + log |C|
अथवा sin v = log |Cx|
v को $\frac{y}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं।
sin $\left(\frac{y}{x}\right)$ = log |Cx|
यह अवकल समीकरण (i) का व्यापक हल है।
$\frac{d y}{d x}=\frac{y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+x}{x \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$ ...(i)
यहाँ $\frac{d y}{d x}$ = F(x, y) के रूप का अवकल समीकरण है।
यहाँ F(x, y) $=\frac{y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+x}{x \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$ है।
x को $\lambda x$ से एवं y को $\lambda y$ से प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$\mathrm{F}(\lambda x, \lambda y)$ $=\frac{\lambda\left[y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+x\right]}{\lambda\left(x \cos \frac{y}{x}\right)}=\lambda^{0}$[F(x, y)]
F(x, y) शून्य घात वाला समघातीय फलन है, इसलिए दिया हुआ अवकल समीकरण एक समघातीय अवकल समीकरण है। इसको हल करने के लिए हम प्रतिस्थापन करते हैं:
y = vx ...(ii)
समीकरण (ii) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$ ...(iii)
समीकरण (i) में y एवं $\frac{d y}{d x}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v \cos v+1}{\cos v}$
अथवा $x \frac{d v}{d x}=\frac{v \cos v+}{\cos v}$
अथवा $x \frac{d v}{d x}=\frac{1}{\cos v}$
अथवा cos v dv $=\frac{d x}{x}$
इसलिए $\int \cos v d v=\int \frac{1}{x} d x$
अथवा sin v = log |x| + log |C|
अथवा sin v = log |Cx|
v को $\frac{y}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं।
sin $\left(\frac{y}{x}\right)$ = log |Cx|
यह अवकल समीकरण (i) का व्यापक हल है।
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