अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:
$(x + y)dy + (x - y)dx = 0, y = 1$ जब $x = 1$
$(x + y)dy + (x - y)dx = 0, y = 1$ जब $x = 1$
Exercise-9.5-11
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दिया है $, (x + y)dy = (y - x)dx \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y-x}{x+y}$
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः $\frac{y}{x}=v$ अर्थात् $y = vx$ रखंने पर,
$\Rightarrow\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
समी. $(i)$ से, $v + x \frac{d v}{d x}=\frac{v x-x}{x+v x}$
$\Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x(v-1)}{x(1+v)} \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v-1}{1+v}$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v-1}{1+v}-v \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v-1-v-v^{2}}{1+v}$
$\Rightarrow -x \frac{d v}{d x}=\frac{1+v^{2}}{1+v} \Rightarrow \frac{(v+1)}{1+v^{2}} d v=-\frac{1}{x} d x$
समाकलन करने पर,
$\int \frac{(v+1)}{1+v^{2}} d v=-\int \frac{d x}{x} \Rightarrow \int \frac{v}{1+v^{2}} d v+\int \frac{1}{1+v^{2}} d v=-\int \frac{d x}{x}$
प्रथम समाकलन में मान लीजिए $v^2 + 1 = t \Rightarrow 2 v=\frac{d t}{d v} \Rightarrow d v=\frac{d t}{2 v}$
$\therefore\int \frac{v}{t} \times \frac{d t}{2 v}+\int \frac{1}{1+v^{2}} d v=-\int \frac{d x}{x}$
$\Rightarrow\frac{1}{2} \int \frac{1}{t} d t+\int \frac{1}{1+v^{2}} d v=-\int \frac{d x}{x}$
$\Rightarrow\frac{1}{2} \log |t| + \tan^{-1}v = -\log |x| + C \left(\because \int \frac{1}{1+x^{2}} d x=\tan ^{-1} x\right)$
$\Rightarrow\frac{1}{2} \log |v^2 +1| + \tan^{-1}v = -\log |x| + C (\because t = v^2 + 1)$
$\Rightarrow\frac{1}{2} \log \left(\frac{y^{2}+x^{2}}{x^{2}}\right) + \log |x| + \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = C (\frac{y}{x} $रखने पर$)$
$\Rightarrow\log \left(\frac{y^{2}+x^{2}}{x^{2}}\right)+2 \log |x|+2 \tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)=2 C$
$\Rightarrow\log \left(\frac{y^{2}+x^{2}}{x^{2}}\right)+\log x^{2}+2 \tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)=2 C$
$\Rightarrow \log \frac{\left(y^{2}+x^{2}\right) x^{2}}{x^{2}}+2 \tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)=2 C$
$\Rightarrow \log(x^2 + y^2) + 2 \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = A (2C = A$ रखने पर$) ...(ii)$
दिया है $, x = 1, y = 1$
$\therefore \log 2+\left(2 \times \frac{\pi}{4}\right)=A \left[\because \tan ^{-1}(1)=\frac{\pi}{4}\right]$
समी. $(ii)$ में $A$ का मान रखने पर,
$\log(x^2 + y2) + 2 \tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \frac{\pi}{2} + \log 2$
जोकि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः $\frac{y}{x}=v$ अर्थात् $y = vx$ रखंने पर,
$\Rightarrow\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
समी. $(i)$ से, $v + x \frac{d v}{d x}=\frac{v x-x}{x+v x}$
$\Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x(v-1)}{x(1+v)} \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v-1}{1+v}$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v-1}{1+v}-v \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v-1-v-v^{2}}{1+v}$
$\Rightarrow -x \frac{d v}{d x}=\frac{1+v^{2}}{1+v} \Rightarrow \frac{(v+1)}{1+v^{2}} d v=-\frac{1}{x} d x$
समाकलन करने पर,
$\int \frac{(v+1)}{1+v^{2}} d v=-\int \frac{d x}{x} \Rightarrow \int \frac{v}{1+v^{2}} d v+\int \frac{1}{1+v^{2}} d v=-\int \frac{d x}{x}$
प्रथम समाकलन में मान लीजिए $v^2 + 1 = t \Rightarrow 2 v=\frac{d t}{d v} \Rightarrow d v=\frac{d t}{2 v}$
$\therefore\int \frac{v}{t} \times \frac{d t}{2 v}+\int \frac{1}{1+v^{2}} d v=-\int \frac{d x}{x}$
$\Rightarrow\frac{1}{2} \int \frac{1}{t} d t+\int \frac{1}{1+v^{2}} d v=-\int \frac{d x}{x}$
$\Rightarrow\frac{1}{2} \log |t| + \tan^{-1}v = -\log |x| + C \left(\because \int \frac{1}{1+x^{2}} d x=\tan ^{-1} x\right)$
$\Rightarrow\frac{1}{2} \log |v^2 +1| + \tan^{-1}v = -\log |x| + C (\because t = v^2 + 1)$
$\Rightarrow\frac{1}{2} \log \left(\frac{y^{2}+x^{2}}{x^{2}}\right) + \log |x| + \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = C (\frac{y}{x} $रखने पर$)$
$\Rightarrow\log \left(\frac{y^{2}+x^{2}}{x^{2}}\right)+2 \log |x|+2 \tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)=2 C$
$\Rightarrow\log \left(\frac{y^{2}+x^{2}}{x^{2}}\right)+\log x^{2}+2 \tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)=2 C$
$\Rightarrow \log \frac{\left(y^{2}+x^{2}\right) x^{2}}{x^{2}}+2 \tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)=2 C$
$\Rightarrow \log(x^2 + y^2) + 2 \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = A (2C = A$ रखने पर$) ...(ii)$
दिया है $, x = 1, y = 1$
$\therefore \log 2+\left(2 \times \frac{\pi}{4}\right)=A \left[\because \tan ^{-1}(1)=\frac{\pi}{4}\right]$
समी. $(ii)$ में $A$ का मान रखने पर,
$\log(x^2 + y2) + 2 \tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \frac{\pi}{2} + \log 2$
जोकि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
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