किसी जीवाणु समूह में जीवाणुओं की संख्या 1,00,000 है। 2 घंटों में इनकी संख्या में 10% की वृद्धि होती है। कितने घंटों में जीवाणुओं की संख्या 2,00,000 हो जाएगी, यदि जीवाणुओं के वृद्धि की दर उनके उपस्थित संख्या के समानुपाती है।
Exercise-9.4-22
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माना t समय पर जीवाणुओं की संख्या y है, तब
$\frac{d y}{d t} \propto y \Rightarrow \frac{d y}{d t}=k y$
जहाँ, k समानुपातीक अचर है।
चरों के पृथक्करण से, $\frac{d y}{y}=k d t$
समाकलन करने पर, $\int \frac{d y}{y}=\int k d t$
$\Rightarrow$ log |y| = kt + C ...(i)
प्रारम्भ में जब t = 0, y = 100000, तो log 100000 = C ...(ii)
जब t = 2, y = 110000, तो log 110000 = 2k + C ...(iii)
समी. (iii) से समी. (ii) को घटाने पर,
log 110000 - log 100000 = 2k $\Rightarrow \log \frac{110000}{100000}=2 k$
$\Rightarrow$ $k =\frac{1}{2} \log \left(\frac{11}{10}\right)$
k तथा C का मान समी. (i) में रखने पर,
log y $=\frac{1}{2} \log \left(\frac{11}{10}\right) t$ + log 100000
जब y = 200000 हो, तो log 200000 = $\frac{1}{2} \log \left(\frac{11}{10}\right)$ t + log 100000
$\Rightarrow \log \left(\frac{200000}{100000}\right) $ $=\frac{1}{2} \log \left(\frac{11}{10}\right) t$
$\Rightarrow$ 2 log(2) $= \log \left(\frac{11}{10}\right) t$
$\Rightarrow t =\frac{2 \log 2}{\log \left(\frac{11}{10}\right)}$
अतः $\frac{2 \log 2}{\log \left(\frac{11}{10}\right)}$ समय में जीवाणुओं की संख्या 100000 से बढ़कर 200000 हो जाती है।
$\frac{d y}{d t} \propto y \Rightarrow \frac{d y}{d t}=k y$
जहाँ, k समानुपातीक अचर है।
चरों के पृथक्करण से, $\frac{d y}{y}=k d t$
समाकलन करने पर, $\int \frac{d y}{y}=\int k d t$
$\Rightarrow$ log |y| = kt + C ...(i)
प्रारम्भ में जब t = 0, y = 100000, तो log 100000 = C ...(ii)
जब t = 2, y = 110000, तो log 110000 = 2k + C ...(iii)
समी. (iii) से समी. (ii) को घटाने पर,
log 110000 - log 100000 = 2k $\Rightarrow \log \frac{110000}{100000}=2 k$
$\Rightarrow$ $k =\frac{1}{2} \log \left(\frac{11}{10}\right)$
k तथा C का मान समी. (i) में रखने पर,
log y $=\frac{1}{2} \log \left(\frac{11}{10}\right) t$ + log 100000
जब y = 200000 हो, तो log 200000 = $\frac{1}{2} \log \left(\frac{11}{10}\right)$ t + log 100000
$\Rightarrow \log \left(\frac{200000}{100000}\right) $ $=\frac{1}{2} \log \left(\frac{11}{10}\right) t$
$\Rightarrow$ 2 log(2) $= \log \left(\frac{11}{10}\right) t$
$\Rightarrow t =\frac{2 \log 2}{\log \left(\frac{11}{10}\right)}$
अतः $\frac{2 \log 2}{\log \left(\frac{11}{10}\right)}$ समय में जीवाणुओं की संख्या 100000 से बढ़कर 200000 हो जाती है।
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