दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक $m$ के लिए, $6m + 2$ या $6m + 5$ के रूप का नहीं हो सकता।
Exercise-1.3-4
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एक पूर्णांक सकारात्मक हो और $b = 6$
फिर, यूक्लिड के एल्गोरिथ्म द्वारा, $a = 6q + r$ कुछ पूर्णांक $q \geq 0$ और $r = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ के लिए क्योंकि $0 \leq r < 5$
तो , $a = 6q$ या $6q + 1$ या $6q + 2$ या $6q + 3$ या $6q + 4$ या $6q + 5।$
$(6q)^2 = 36q^2 = 6(6q^2)$
$= 6m,$ जहां $m$ कोई पूर्णांक है।
$(6q + 1)^2 = 36q^2 + 12q + 1$
$= 6(6q^2 + 2q) + 1$
$= 6m + 1,$ जहाँ $m$ कोई पूर्णांक है।
$(6q + 2)^2 = 36q^2 + 24q + 4$
$= 6(6q^2 + 4q) + 4$
$= 6m + 4,$ जहाँ $m$ कोई पूर्णांक है।
$(6q + 3)^2 = 36q^2 + 36q + 9$
$= 6(6q^2 + 6q + 1) + 3$
$= 6m + 3,$ जहाँ $m$ कोई पूर्णांक है।
$(6q + 4)^2 = 36q^2 + 48q + 16$
$= 6(6q^2 + 7q + 2) + 4$
$= 6m + 4,$ जहाँ $m$ कोई पूर्णांक है।
$(6q + 5)^2 = 36q^2 + 60q + 25$
$= 6(6q^2 + 10q + 4) + 1$
$= 6m + 1,$ जहाँ $m$ कोई पूर्णांक है।
अत: किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग $6m, 6m + 1, 6m + 3, 6m + 4$ के रूप का होता है और किसी पूर्णांक $m$ के लिए $6m + 2$ या $6m + 5$ के रूप का नहीं हो सकता।
फिर, यूक्लिड के एल्गोरिथ्म द्वारा, $a = 6q + r$ कुछ पूर्णांक $q \geq 0$ और $r = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ के लिए क्योंकि $0 \leq r < 5$
तो , $a = 6q$ या $6q + 1$ या $6q + 2$ या $6q + 3$ या $6q + 4$ या $6q + 5।$
$(6q)^2 = 36q^2 = 6(6q^2)$
$= 6m,$ जहां $m$ कोई पूर्णांक है।
$(6q + 1)^2 = 36q^2 + 12q + 1$
$= 6(6q^2 + 2q) + 1$
$= 6m + 1,$ जहाँ $m$ कोई पूर्णांक है।
$(6q + 2)^2 = 36q^2 + 24q + 4$
$= 6(6q^2 + 4q) + 4$
$= 6m + 4,$ जहाँ $m$ कोई पूर्णांक है।
$(6q + 3)^2 = 36q^2 + 36q + 9$
$= 6(6q^2 + 6q + 1) + 3$
$= 6m + 3,$ जहाँ $m$ कोई पूर्णांक है।
$(6q + 4)^2 = 36q^2 + 48q + 16$
$= 6(6q^2 + 7q + 2) + 4$
$= 6m + 4,$ जहाँ $m$ कोई पूर्णांक है।
$(6q + 5)^2 = 36q^2 + 60q + 25$
$= 6(6q^2 + 10q + 4) + 1$
$= 6m + 1,$ जहाँ $m$ कोई पूर्णांक है।
अत: किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग $6m, 6m + 1, 6m + 3, 6m + 4$ के रूप का होता है और किसी पूर्णांक $m$ के लिए $6m + 2$ या $6m + 5$ के रूप का नहीं हो सकता।
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