यदि $n$ एक विषम पूर्णांक है, तो दर्शाइए कि $n^{2 }- 1, 8$ से विभाज्य है।
Exercise-1.3-6
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मान लीजिए $a, n^2 - 1$ के रूप का है, जहाँ $n$ विषम है
अर्थात $n = 2k + 1,$ जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
$\Rightarrow a = (2k + 1)^2 - 1$
$\Rightarrow a = 4k^2 + 1 + 4k - 1$
$\Rightarrow a = 4k^2 + 4k = 4k(k + 1)$
अब, या तो $k$ सम है या $k + 1$ सम है।
पूर्व स्थिति में, $k = 2r \Rightarrow a = 8r(2r + 1)$
बाद की स्थिति में, $k + 1 = 2r \Rightarrow a = 8r(2r - 1)$
इस प्रकार, किसी भी स्थिति में $n^2 - 1, 8$ से विभाज्य है।
अर्थात $n = 2k + 1,$ जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
$\Rightarrow a = (2k + 1)^2 - 1$
$\Rightarrow a = 4k^2 + 1 + 4k - 1$
$\Rightarrow a = 4k^2 + 4k = 4k(k + 1)$
अब, या तो $k$ सम है या $k + 1$ सम है।
पूर्व स्थिति में, $k = 2r \Rightarrow a = 8r(2r + 1)$
बाद की स्थिति में, $k + 1 = 2r \Rightarrow a = 8r(2r - 1)$
इस प्रकार, किसी भी स्थिति में $n^2 - 1, 8$ से विभाज्य है।
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