दर्शाइए कि किसी पूर्णांक $q$ के लिए, किसी विषम पूर्णांक का वर्ग $4q + 1$ के रूप का होता है।
Exercise-1.3-5
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मान लीजिए $p$ कोई विषम पूर्णांक है।
$p = 2m + r, 0 \leq r \leq 2, m$ पूर्णांक है
तो $r = 0, p = 2 m$ सम संख्या है
तो $r = 1 p = 2 m + 1$ एक विषम संख्या है
अब, विषम $p$ के लिए, हम
$p^2 = (2m + 1)^2 = 4m^2 + 4m + 1$
$= 4(m^2 + m) + 1$
$= 4q + 1 ($जहां $q = m^2 + m$ कोई है पूर्णांक$)$
इसलिए किसी भी विषम संख्या का वर्ग किसी भी पूर्णांक $q$ के लिए $4q + 1$ के रूप का होता है।
$p = 2m + r, 0 \leq r \leq 2, m$ पूर्णांक है
तो $r = 0, p = 2 m$ सम संख्या है
तो $r = 1 p = 2 m + 1$ एक विषम संख्या है
अब, विषम $p$ के लिए, हम
$p^2 = (2m + 1)^2 = 4m^2 + 4m + 1$
$= 4(m^2 + m) + 1$
$= 4q + 1 ($जहां $q = m^2 + m$ कोई है पूर्णांक$)$
इसलिए किसी भी विषम संख्या का वर्ग किसी भी पूर्णांक $q$ के लिए $4q + 1$ के रूप का होता है।
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