दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक $q$ के लिए, या तो $4q$ या $4q + 1$ के रूप का होता है।
Exercise-1.3-1
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मान लीजिए $a = 4q + r$, जब $r = 0, 1, 2$ और $3$
संख्याएँ $4q, 4q + 1, 4q + 2$ और $4q + 3$ हैं।
$(a)^2 = (4q)^2 = 16q^2 = 4(4q)^2 = 4m$
$(a)^{2 }= (4q + 1)^{2 }= 16q^{2 }+ 8q + 1 = 4(4q^{2 }+ 2q) + 1 = 4m + 1$
$(a)^{2 }= (4q + 2)^{2 }= 16q^{2 }+ 16q + 4 = 4(4q^{2 }+ 4q + 1) = 4m$
$(a)^{2 }= (4q + 3)^{2 }= 16q^{2 }+ 24q + 9 = 4(4q^{2 }+ 6q + 2) + 1 = 4m + 1$
$\therefore$ किसी भी $+ve$ पूर्णांक का वर्ग $4q$ या $4q + 1$ के रूप का होता है।
संख्याएँ $4q, 4q + 1, 4q + 2$ और $4q + 3$ हैं।
$(a)^2 = (4q)^2 = 16q^2 = 4(4q)^2 = 4m$
$(a)^{2 }= (4q + 1)^{2 }= 16q^{2 }+ 8q + 1 = 4(4q^{2 }+ 2q) + 1 = 4m + 1$
$(a)^{2 }= (4q + 2)^{2 }= 16q^{2 }+ 16q + 4 = 4(4q^{2 }+ 4q + 1) = 4m$
$(a)^{2 }= (4q + 3)^{2 }= 16q^{2 }+ 24q + 9 = 4(4q^{2 }+ 6q + 2) + 1 = 4m + 1$
$\therefore$ किसी भी $+ve$ पूर्णांक का वर्ग $4q$ या $4q + 1$ के रूप का होता है।
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