दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक $q$ के लिए, $5q + 2$ या $5q + 3$ के रूप का नहीं हो सकता।
Exercise-1.3-3
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मान लीजिए $n$ कोई धनात्मक पूर्णांक है। यूक्लिड डिवीजन लेम्मा को भाजक $5$ के साथ लागू करने पर, हमें
$n = 5q, 5q + 1, 5q + 2, 5q + 3$ और $5q + 4$ मिलता है
अब $(5q)^2 = 25q^2 = 5m,$ जहां $m = 5q^2,$ जो एक पूर्णांक है;
$(5q + 1)^2 = 25q^2 + 10q + 1 = 5(5q^2 + 2q) + 1 = 5m + 1$
जहाँ $m = 5q^2 + 2q,$ जो एक पूर्णांक है
$(5q + 2)^2 = 25q^2 + 20q + 4$
$= 5(5q^2 + 4q) + 4 = 5m + 4,$
जहाँ $m = 5q^2 + 4q,$ जो एक पूर्णांक
$(5q + 3)^2 = 25q^2 + 30q + 9$ है
$5(5q^2 + 6q + 1) + 4 = 5m + 4,$
जहाँ $m = 5q^2 + 6q + 1,$ जो एक पूर्णांक है;
$(5q + 4)^2 = 25q^2 + 40q + 16$
$= 5(5q^2 + 8q + 3) + 1 = 5m + 1,$
जहां $m = 5q^2 + 8q + 3,$ जो एक पूर्णांक है।
इस प्रकार, किसी का वर्ग धनात्मक पूर्णांक किसी पूर्णांक $m$ के लिए $5m, 5m + 1$ या $5m + 4$ के रूप का होता है।
यह इस प्रकार है कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक m के लिए $5m + 2$ या $5m + 3$ के रूप का नहीं हो सकता।
$n = 5q, 5q + 1, 5q + 2, 5q + 3$ और $5q + 4$ मिलता है
अब $(5q)^2 = 25q^2 = 5m,$ जहां $m = 5q^2,$ जो एक पूर्णांक है;
$(5q + 1)^2 = 25q^2 + 10q + 1 = 5(5q^2 + 2q) + 1 = 5m + 1$
जहाँ $m = 5q^2 + 2q,$ जो एक पूर्णांक है
$(5q + 2)^2 = 25q^2 + 20q + 4$
$= 5(5q^2 + 4q) + 4 = 5m + 4,$
जहाँ $m = 5q^2 + 4q,$ जो एक पूर्णांक
$(5q + 3)^2 = 25q^2 + 30q + 9$ है
$5(5q^2 + 6q + 1) + 4 = 5m + 4,$
जहाँ $m = 5q^2 + 6q + 1,$ जो एक पूर्णांक है;
$(5q + 4)^2 = 25q^2 + 40q + 16$
$= 5(5q^2 + 8q + 3) + 1 = 5m + 1,$
जहां $m = 5q^2 + 8q + 3,$ जो एक पूर्णांक है।
इस प्रकार, किसी का वर्ग धनात्मक पूर्णांक किसी पूर्णांक $m$ के लिए $5m, 5m + 1$ या $5m + 4$ के रूप का होता है।
यह इस प्रकार है कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक m के लिए $5m + 2$ या $5m + 3$ के रूप का नहीं हो सकता।
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