सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{p}+\sqrt{q}$ एक अपरिमेय संख्या है, जहाँ $p$ और $q$ अभाज्य संख्याएँ हैं।
Exercise-1.3-14
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मान लीजिए विवेकपूर्ण इसे के रूप में लिखा जा सकता है $\frac{a}{b}$
$\sqrt{p}=\frac{a}{b} ($जहाँ $a$ और $b$ सह$-$अभाज्य हैं$)$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है
$p = \frac{a^{2}}{b^{2}}$
$\Rightarrow pb^2 = a^2 ...(i)$
$a$ का भी एक गुणनखंड p होता है।
इसलिए $a = pc$
$pb^2 = a^2$
$a^2 = p^2c^2$
$a^{2 }$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर
$pb^2 = p^2c^2$
$\therefore b$ का एक कारक p है।
लेकिन हम मानते हैं कि $a$ और $b$ सह$-$अभाज्य हैं
$\therefore$ हमारी धारणा गलत है।
$\sqrt p$ एक अपरिमेय संख्या होनी चाहिए, $(p$ एक अभाज्य संख्या है$।)$
$\sqrt q$ एक अपरिमेय संख्या भी है $(q$ एक अभाज्य संख्या है$।)$
दो अपरिमेय संख्याओं का योग अपरिमेय होता है
$\therefore \sqrt{p}+\sqrt{q}$ अपरिमेय संख्या है।
$\sqrt{p}=\frac{a}{b} ($जहाँ $a$ और $b$ सह$-$अभाज्य हैं$)$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है
$p = \frac{a^{2}}{b^{2}}$
$\Rightarrow pb^2 = a^2 ...(i)$
$a$ का भी एक गुणनखंड p होता है।
इसलिए $a = pc$
$pb^2 = a^2$
$a^2 = p^2c^2$
$a^{2 }$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर
$pb^2 = p^2c^2$
$\therefore b$ का एक कारक p है।
लेकिन हम मानते हैं कि $a$ और $b$ सह$-$अभाज्य हैं
$\therefore$ हमारी धारणा गलत है।
$\sqrt p$ एक अपरिमेय संख्या होनी चाहिए, $(p$ एक अभाज्य संख्या है$।)$
$\sqrt q$ एक अपरिमेय संख्या भी है $(q$ एक अभाज्य संख्या है$।)$
दो अपरिमेय संख्याओं का योग अपरिमेय होता है
$\therefore \sqrt{p}+\sqrt{q}$ अपरिमेय संख्या है।
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