दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन, किसी पूर्णांक $m$ के लिए, $4m, 4m + 1$ या $4m + 3$ के रूप का होता है।
Exercise-1.3-2
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मान लीजिए $a$ एक धनात्मक पूर्णांक है और $b = 4$ है।
फिर, यूक्लिड के एल्गोरिथ्म द्वारा, $a = 4q + r$ किसी पूर्णांक $q \geq 0$ के लिए और $r = 0, 1, 2, 3$ क्योंकि $0 \leq r < 4$ है।
तो, $a = 4q$ या $4q + 1$ या $4q + 2$ या $4q + 3$
$(4q)^3 = 61q^3 = 4(16q^3)$
$= 4m,$ जहाँ $m$ कुछ पूर्णांक है।
$(4q + 1)^3 = 64q^3 + 48q^2 + 12q + 1$
$= 4(16q^3 + 12q^2 + 3q) + 1$
$= 4m + 1,$ जहाँ $m$ कुछ पूर्णांक है।
$(4q + 2)^3 = 64q^3 + 96q^2 + 48q + 8$
$= 4(16q^3 + 24q^2 + 12q + 2)$
$= 4m$, जहाँ $m$ कुछ पूर्णांक है।
$(4q + 3)^3 = 64q^3 + 144q^2 + 108q + 27$
$= 4 \times (16q^3 + 36q^2 + 27q + 6) + 3$
$= 4m + 3,$ जहाँ $m$ कुछ पूर्णांक है।
अत: किसी धनात्मक पूर्णांक का घन किसी पूर्णांक $m$ के लिए $4m, 4m + 1$ या $4m + 3$ के रूप का होता है।
फिर, यूक्लिड के एल्गोरिथ्म द्वारा, $a = 4q + r$ किसी पूर्णांक $q \geq 0$ के लिए और $r = 0, 1, 2, 3$ क्योंकि $0 \leq r < 4$ है।
तो, $a = 4q$ या $4q + 1$ या $4q + 2$ या $4q + 3$
$(4q)^3 = 61q^3 = 4(16q^3)$
$= 4m,$ जहाँ $m$ कुछ पूर्णांक है।
$(4q + 1)^3 = 64q^3 + 48q^2 + 12q + 1$
$= 4(16q^3 + 12q^2 + 3q) + 1$
$= 4m + 1,$ जहाँ $m$ कुछ पूर्णांक है।
$(4q + 2)^3 = 64q^3 + 96q^2 + 48q + 8$
$= 4(16q^3 + 24q^2 + 12q + 2)$
$= 4m$, जहाँ $m$ कुछ पूर्णांक है।
$(4q + 3)^3 = 64q^3 + 144q^2 + 108q + 27$
$= 4 \times (16q^3 + 36q^2 + 27q + 6) + 3$
$= 4m + 3,$ जहाँ $m$ कुछ पूर्णांक है।
अत: किसी धनात्मक पूर्णांक का घन किसी पूर्णांक $m$ के लिए $4m, 4m + 1$ या $4m + 3$ के रूप का होता है।
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