सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
Exercise-1.3-10
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हम मानते हैं $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है।
$\sqrt{3}+\sqrt{5} = a [$जहां एक तर्कसंगत है।$]$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं।
$(\sqrt{5})^{2}=(a-\sqrt{3})^{2}$
$\Rightarrow 5 = (a)2 + (\sqrt{3})^{2} - 2(a)(\sqrt{3})$
$\Rightarrow 2 a \sqrt{3} = a^2 + 3 - 5$
$\Rightarrow 2 a \sqrt{3} = a^2 - 2$
$\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{a^{2}-2}{2 a}$
एक के रूप में $a^2 - 2, 2a$ परिमेय संख्याएं हैं।
इसलिए $\frac{a^{2}-2}{2 a}$ परिमेय भी है लेकिन $\sqrt 3$ अपरिमेय नहीं है जो हमारे विचार के विपरीत है।
चूँकि एक परिमेय संख्या एक अपरिमेय संख्या के बराबर नहीं हो सकती है।
हमारी यह धारणा गलत है कि $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ एक परिमेय है।
इसलिए, $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ अपरिमेय है।
$\sqrt{3}+\sqrt{5} = a [$जहां एक तर्कसंगत है।$]$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं।
$(\sqrt{5})^{2}=(a-\sqrt{3})^{2}$
$\Rightarrow 5 = (a)2 + (\sqrt{3})^{2} - 2(a)(\sqrt{3})$
$\Rightarrow 2 a \sqrt{3} = a^2 + 3 - 5$
$\Rightarrow 2 a \sqrt{3} = a^2 - 2$
$\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{a^{2}-2}{2 a}$
एक के रूप में $a^2 - 2, 2a$ परिमेय संख्याएं हैं।
इसलिए $\frac{a^{2}-2}{2 a}$ परिमेय भी है लेकिन $\sqrt 3$ अपरिमेय नहीं है जो हमारे विचार के विपरीत है।
चूँकि एक परिमेय संख्या एक अपरिमेय संख्या के बराबर नहीं हो सकती है।
हमारी यह धारणा गलत है कि $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ एक परिमेय है।
इसलिए, $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ अपरिमेय है।
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