एक आयत की लंबायीं $x, 5\ cm/min$ की दर से घट रही है और चौड़ाई $y, 4 \ cm/ min$ की दर से बढ़ रही है। जब $x = 8\ cm$ और $y = 6 \ cm$ हैं तब आयत के
- परिमाप
- क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।
Exercise-6.1-7
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मान लीजिए कि किसी समय $t$ पर, आयत की लंबाई, चौड़ाई, परिमाप और क्षेत्रफल क्रमशः $x, y, P$ और $A$ है, तब $P = 2(x + y)$ और $A = xy$
आयत का परिमाप $= 2 ($लंबाई $+$ चौड़ाई$)$ और क्षेत्रफल $=$ लंबाई $x$ चौड़ाई
यह दिया है कि $\frac{d x}{d} = - 5$ सेमी / मिनट $(-ve$ चिन्ह दर्शाता है कि लंबाई घट रही है$)$
और $\frac{d y}{d t} = 4$ सेमी/मिनट
आयत का परिमाप $= 2 ($लंबाई $+$ चौड़ाई$)$ और क्षेत्रफल $=$ लंबाई $x$ चौड़ाई
यह दिया है कि $\frac{d x}{d} = - 5$ सेमी / मिनट $(-ve$ चिन्ह दर्शाता है कि लंबाई घट रही है$)$
और $\frac{d y}{d t} = 4$ सेमी/मिनट
- अब, $P = 2(x + y)$
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
परिमाप के परिवर्तन की दर $\frac{d P}{d t} = 2\left(\frac{d x}{d t}+\frac{d y}{d t}\right)$
$= 2(-5 + 4)$ सेमी/मिनट $= -2$ सेमी/मिनट $(\therefore \frac{d x}{d t} = - 5$ और $\frac{d y}{d t} = 4)$
अतः, आयत का परिमाप $2$ सेमी/मिनट की दर से घट $(- ve$ चिन्ह$)$ रहा है। यहाँ, आयत का क्षेत्रफल $A = xy,$ - यहाँ, आयत का क्षेत्रफल $A = xy,$
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर $\frac{d A}{d t} = x \frac{d y}{d t} + y\frac{d x}{d t}$
$\Rightarrow \frac{d A}{d t} = 8 \times 4 + 6\times (- 5) (\because \frac{d x}{d t} = -5$ और $\frac{d y}{d t} = 4)$
$= 32 - 30 = 2$ सेमी$^2$/मिनट
अतः, आयत का क्षेत्रफल $2$ सेमी$^2$/मिनट की दर से बढ़ रही है।
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