x = cos t, y = sin t के t = $ \frac{\pi}{4} $ पर दिए वक्र पर निर्दिष्ट बिंदुओं पर स्पर्श रेखा और अभिलंब के समीकरण ज्ञात कीजिए।
Exercise-6.3-14(5)
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दिए गए वक्र का समीकरण है,
x = cos t, y = sin t
x = cos $\frac{\pi}{4}$, y = sin $ \frac{\pi}{4} $ (t = $ \frac{\pi}{4}$ रखने पर)
x = $ \frac{1}{\sqrt{2}}$, y = $ \frac{1}{\sqrt{2}}$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d x}{d t}$ = - sin t, $ \frac{d y}{d t}$ = cos t, $ \therefore $ $\frac{d y}{d x}$ = $ \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}$ = $ \frac{\cos t}{-\sin t}$ = - cot t
$ \left(\frac{d y}{d x}\right)_{t=\frac{\pi}{4}}$ = - cot $ \left(\frac{\pi}{4}\right)$ = - 1
$\therefore$ t = $ \frac{\pi}{4}$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता - 1 है।
इसलिए, t = $ \frac{\pi}{4}$ पर दिए गए वक्र पर स्पर्श रेखा का समीकरण,
$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ y - $ \frac{1}{\sqrt{2}}$ = - 1 $\left(x-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\$
$\Rightarrow$ x + y - $\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}$ = 0 $ \Rightarrow$ x + y - $\frac{2}{\sqrt{2}}$ = 0; x + y - $\sqrt{2} $ = 0
पुनः t = $\frac{\pi}{4}$ पर अभिलंब की प्रवणता,
इसलिए, t = $ \frac{\pi}{4}$पर दिए गए वक्र के अभिलंब का समीकरण है।
y - $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = 1 $\left(x-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ $\Rightarrow$ x - y = 0 $\Rightarrow$ x - y = 0
x = cos t, y = sin t
x = cos $\frac{\pi}{4}$, y = sin $ \frac{\pi}{4} $ (t = $ \frac{\pi}{4}$ रखने पर)
x = $ \frac{1}{\sqrt{2}}$, y = $ \frac{1}{\sqrt{2}}$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d x}{d t}$ = - sin t, $ \frac{d y}{d t}$ = cos t, $ \therefore $ $\frac{d y}{d x}$ = $ \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}$ = $ \frac{\cos t}{-\sin t}$ = - cot t
$ \left(\frac{d y}{d x}\right)_{t=\frac{\pi}{4}}$ = - cot $ \left(\frac{\pi}{4}\right)$ = - 1
$\therefore$ t = $ \frac{\pi}{4}$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता - 1 है।
इसलिए, t = $ \frac{\pi}{4}$ पर दिए गए वक्र पर स्पर्श रेखा का समीकरण,
$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ y - $ \frac{1}{\sqrt{2}}$ = - 1 $\left(x-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\$
$\Rightarrow$ x + y - $\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}$ = 0 $ \Rightarrow$ x + y - $\frac{2}{\sqrt{2}}$ = 0; x + y - $\sqrt{2} $ = 0
पुनः t = $\frac{\pi}{4}$ पर अभिलंब की प्रवणता,
इसलिए, t = $ \frac{\pi}{4}$पर दिए गए वक्र के अभिलंब का समीकरण है।
y - $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = 1 $\left(x-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ $\Rightarrow$ x - y = 0 $\Rightarrow$ x - y = 0
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