सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = log |cos x| $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में वर्धमान और $\left(\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right)$ में ह्रासमान है।
Exercise-6.2-17
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दिया है, f(x) = log (cos x)
$\Rightarrow $ f$^{\prime}$(x) = $\frac{1}{\cos x}$ $\cdot$ (-sin x) = - tan x$\cdot$(x के सापेक्ष अवकलन करने पर)
अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में, tan x > 0 ($\because$ tan x प्रथम चतुर्थांश में है)
$\Rightarrow$ - tan x < 0 ($\because$ tan x प्रथम चतुर्थांश में है)
$\therefore$ $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में f$^{\prime}$(x) < 0,
अब अंतराल $\left(\frac{2}{\pi}, \pi\right)$ में tan x < 0
$\Rightarrow $ - tan x > 0 ($\because$ tan x द्वितीय चतुर्थांश में है)
$\therefore$ $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ में f$^{\prime}$(x) > 0,
इसलिए, $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ में f निरंतर वर्धमान है।
$\Rightarrow $ f$^{\prime}$(x) = $\frac{1}{\cos x}$ $\cdot$ (-sin x) = - tan x$\cdot$(x के सापेक्ष अवकलन करने पर)
अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में, tan x > 0 ($\because$ tan x प्रथम चतुर्थांश में है)
$\Rightarrow$ - tan x < 0 ($\because$ tan x प्रथम चतुर्थांश में है)
$\therefore$ $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में f$^{\prime}$(x) < 0,
अब अंतराल $\left(\frac{2}{\pi}, \pi\right)$ में tan x < 0
$\Rightarrow $ - tan x > 0 ($\because$ tan x द्वितीय चतुर्थांश में है)
$\therefore$ $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ में f$^{\prime}$(x) > 0,
इसलिए, $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ में f निरंतर वर्धमान है।
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