एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है, एक पंप द्वारा $900 \ cm^3$ गैस प्रति सेकंड भर कर फुलाया जाता है। गुब्बारे की त्रिज्या के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जब त्रिज्या $15 \ cm$ है।
Exercise-6.1-8
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मान लीजिए कि किसी समय $t$ पर गुब्बारे की त्रिज्या $r$ है ओर आयतन $V$ है, तब गुब्बार का आयतन $V = \left(\frac{4}{3}\right) \pi r^3$
गुब्बारे को एक पंप द्वारा $900$ सेमी$^3$ प्रति सेकण्ड गैस भरकर फुलाया जाता है। दिया है, समय $t$ के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर $900$ सेमी$^2$ से है
$t$ के सापेक्ष आयतन $(V)$ का अवकलन करने पर आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{d V}{d t} = \left(\frac{4}{3} \pi\right) \left(3 r^{2} \frac{d r}{d t}\right)$ है जब $r = 15$ सेमी, तो $900 = \left(\frac{4}{3} \pi\right) \left\{3 \times(15)^{2} \frac{d r}{d t}\right\}$
$\Rightarrow \frac{d r}{d t} = \frac{900}{3 \times(15)^{2}} \times \frac{3}{4 \pi}$
$\Rightarrow$ त्रिज्या $(r)$ के परिवर्तन की दर
$\frac{d r}{d t}=\frac{900}{4 \pi \times(15)^{2}}=\frac{225}{\pi \times 225}; \frac{d r}{d t}=\frac{1}{\pi}$ सेमी/से
अतः जब गुब्बारे की त्रिज्या $15$ सेमी है, तो गुब्बारे की त्रिज्या $\frac{1}{\pi}$ सेमी/से की दर से बढ़ रही है।
गुब्बारे को एक पंप द्वारा $900$ सेमी$^3$ प्रति सेकण्ड गैस भरकर फुलाया जाता है। दिया है, समय $t$ के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर $900$ सेमी$^2$ से है
$t$ के सापेक्ष आयतन $(V)$ का अवकलन करने पर आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{d V}{d t} = \left(\frac{4}{3} \pi\right) \left(3 r^{2} \frac{d r}{d t}\right)$ है जब $r = 15$ सेमी, तो $900 = \left(\frac{4}{3} \pi\right) \left\{3 \times(15)^{2} \frac{d r}{d t}\right\}$
$\Rightarrow \frac{d r}{d t} = \frac{900}{3 \times(15)^{2}} \times \frac{3}{4 \pi}$
$\Rightarrow$ त्रिज्या $(r)$ के परिवर्तन की दर
$\frac{d r}{d t}=\frac{900}{4 \pi \times(15)^{2}}=\frac{225}{\pi \times 225}; \frac{d r}{d t}=\frac{1}{\pi}$ सेमी/से
अतः जब गुब्बारे की त्रिज्या $15$ सेमी है, तो गुब्बारे की त्रिज्या $\frac{1}{\pi}$ सेमी/से की दर से बढ़ रही है।
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