अंतराल $[1, 3]$ में $2x^{3 }- 24x + 107$ का महत्तम मान ज्ञात कीजिए। इसी फलन का अंतराल $[-3. -1]$ में भी महत्तम मान ज्ञात कीजिए।
Exercise-6.5-10
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मान लीजिए कि $f(x) = 2x^3- 24x + 107$
$\Rightarrow f^{\prime}(x) = 6x^{2 }- 24 = 6 \left(x^{2}-4\right) = 6(x + 2)(x - 2)$
उच्चतम और न्यूनतम के लिए $f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर,
$\Rightarrow 6(x + 2)(x - 2) = 0$
$ \Rightarrow x = 2, -2$
हम पहले अंतराल $[1, 3]$ पर विचार करते हैं। इसलिए हमें $x = 2 \in [1, 3]$ और अंतराल $[1, 3]$ के अंत बिन्दुओं पर $f$ का मान ज्ञात करते हैं।
$x = 1 पर, f(1) = 2 \times 1^{3 }- 24 \times 1 + 107 = 85$
$x = 2 पर, f(2) = 2 \times 2^{3 }- 24 \times 2 + 107 = 75$
$x = 3 पर, f(3) = 2 \times 3^{3 }- 24 \times 3 + 107 = 89$
इसलिए अन्तराल $[1, 3]$ में $f(x)$ की निरपेक्ष उच्चतम मान $89$ है। अंतराल जो $x = 3$ पर घटित होता है।
अब, हम अंतराल $[- 3,- 1]$ पर विचार करते हैं।
इसलिए हमें क्रांतिक बिन्दु $x = - 2 \in [- 3,- 1]$ और अंतराल $[ -3,- 1]$ के अंत बिन्दुओं पर $f$ का मान ज्ञात करना है।
$x = - 1$ पर, $f(- 1) = 2(- 1)^{3 }- 24(- 1) + 107 = - 2 + 24 + 107 = 129$
$x = - 2$ पर,$ f(- 2) = 2(- 2)^3 - 24(- 2) + 107 = - 16 + 48 + 107 = 139$
$x = - 3$ पर, f$(- 3) = 2(- 3)^3 - 24(- 3) + 107 = - 54 + 72 + 107 = 125$
इसलिए अंतराल $[- 3, - 1]$ पर $f(x)$ का निरपेक्ष उच्चतम मान $139$ है जोकि $x = - 2$ पर घटित होता है।
$\Rightarrow f^{\prime}(x) = 6x^{2 }- 24 = 6 \left(x^{2}-4\right) = 6(x + 2)(x - 2)$
उच्चतम और न्यूनतम के लिए $f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर,
$\Rightarrow 6(x + 2)(x - 2) = 0$
$ \Rightarrow x = 2, -2$
हम पहले अंतराल $[1, 3]$ पर विचार करते हैं। इसलिए हमें $x = 2 \in [1, 3]$ और अंतराल $[1, 3]$ के अंत बिन्दुओं पर $f$ का मान ज्ञात करते हैं।
$x = 1 पर, f(1) = 2 \times 1^{3 }- 24 \times 1 + 107 = 85$
$x = 2 पर, f(2) = 2 \times 2^{3 }- 24 \times 2 + 107 = 75$
$x = 3 पर, f(3) = 2 \times 3^{3 }- 24 \times 3 + 107 = 89$
इसलिए अन्तराल $[1, 3]$ में $f(x)$ की निरपेक्ष उच्चतम मान $89$ है। अंतराल जो $x = 3$ पर घटित होता है।
अब, हम अंतराल $[- 3,- 1]$ पर विचार करते हैं।
इसलिए हमें क्रांतिक बिन्दु $x = - 2 \in [- 3,- 1]$ और अंतराल $[ -3,- 1]$ के अंत बिन्दुओं पर $f$ का मान ज्ञात करना है।
$x = - 1$ पर, $f(- 1) = 2(- 1)^{3 }- 24(- 1) + 107 = - 2 + 24 + 107 = 129$
$x = - 2$ पर,$ f(- 2) = 2(- 2)^3 - 24(- 2) + 107 = - 16 + 48 + 107 = 139$
$x = - 3$ पर, f$(- 3) = 2(- 3)^3 - 24(- 3) + 107 = - 54 + 72 + 107 = 125$
इसलिए अंतराल $[- 3, - 1]$ पर $f(x)$ का निरपेक्ष उच्चतम मान $139$ है जोकि $x = - 2$ पर घटित होता है।
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