एक गोलाकार गुब्बारे का आयतन, जिसे हवा भरकर फुलाया जा रहा है, स्थिर गति से बदल रहा है यदि आरंभ में इस गुब्बारे की त्रिज्या $3$ इकाई है और $3$ सेकेंड बाद $6$ इकाई है, तो t सेकेंड बाद उस गुब्बारे की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Exercise-9.4-19
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माना गुब्बारे के आयतन परिवर्तन की दर अचर k है।
तब, $\frac{d}{d t}($आयतन$) =$ अचर
$\Rightarrow \frac{d}{d t}\left(\frac{4}{3} \pi r^{3}\right)=k (\because$ गोले का आयतन $=\frac{4}{3} \pi r^{3})$
$\Rightarrow \left(\frac{4}{3} \pi\right)\left(3 r^{2} \frac{d r}{d t}\right)=k$
चरों के पृथक्करण से, $4\pi r^{2dr} = k dt ...(i)$
समाकलन करने पर, $4\pi \int r^{2} d r=k \int d t$
$\Rightarrow 4 \pi \frac{r^{3}}{3} = kt + C$
$ \Rightarrow 4 \pi r^{3} = 3(kt + C) ...(ii)$
प्रारम्भ में, जब $t = 0,$ तो $r = 3$
$\therefore 4 \pi(3)^{3} = 3(k \times 0 + C) $
$\Rightarrow 108 \pi = 3C $
$\Rightarrow C=36 \pi$
पुनः जब $t = 3 ,$ तो $r = 6,$ तब समी. $(ii)$ से,
$4 \pi(6)^3 = 3(k \times 3 + C) $
$\Rightarrow 864 \pi = 3(3k + 36 \pi)$
$\Rightarrow 3k = 288 \pi - 36 \pi = 252 \pi $
$\Rightarrow k = 84 \pi$
$k$ तथा $C$ का मान समी. $(ii)$ में रखने पर,
$4 \pi r^{3} =3(84 \pi t+36 \pi) $
$\Rightarrow 4 \pi r^{3}=4 \pi(63t + 27)$
$\Rightarrow r^3 = 63t +27 $
$\Rightarrow r = (63t + 27)^{1/3}$
जो कि समय $t$ पर गुब्बारे की अभीष्ट त्रिज्या है।
तब, $\frac{d}{d t}($आयतन$) =$ अचर
$\Rightarrow \frac{d}{d t}\left(\frac{4}{3} \pi r^{3}\right)=k (\because$ गोले का आयतन $=\frac{4}{3} \pi r^{3})$
$\Rightarrow \left(\frac{4}{3} \pi\right)\left(3 r^{2} \frac{d r}{d t}\right)=k$
चरों के पृथक्करण से, $4\pi r^{2dr} = k dt ...(i)$
समाकलन करने पर, $4\pi \int r^{2} d r=k \int d t$
$\Rightarrow 4 \pi \frac{r^{3}}{3} = kt + C$
$ \Rightarrow 4 \pi r^{3} = 3(kt + C) ...(ii)$
प्रारम्भ में, जब $t = 0,$ तो $r = 3$
$\therefore 4 \pi(3)^{3} = 3(k \times 0 + C) $
$\Rightarrow 108 \pi = 3C $
$\Rightarrow C=36 \pi$
पुनः जब $t = 3 ,$ तो $r = 6,$ तब समी. $(ii)$ से,
$4 \pi(6)^3 = 3(k \times 3 + C) $
$\Rightarrow 864 \pi = 3(3k + 36 \pi)$
$\Rightarrow 3k = 288 \pi - 36 \pi = 252 \pi $
$\Rightarrow k = 84 \pi$
$k$ तथा $C$ का मान समी. $(ii)$ में रखने पर,
$4 \pi r^{3} =3(84 \pi t+36 \pi) $
$\Rightarrow 4 \pi r^{3}=4 \pi(63t + 27)$
$\Rightarrow r^3 = 63t +27 $
$\Rightarrow r = (63t + 27)^{1/3}$
जो कि समय $t$ पर गुब्बारे की अभीष्ट त्रिज्या है।
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