वक्र $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ पर उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ $x-$अक्ष के समांतर है।
Exercise-6.3-13(1)
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दिए गए वक्र का समीकरण है, $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = 1 ...(i)$
$\Rightarrow x$ के सापेक्ष दोनों ओर का अवकलन करने पर,
$\frac{2 x}{9} + \frac{1}{16} (2y \frac{d y}{d x}) = 0 \Rightarrow \frac{y}{8} \frac{d y}{d x} = \frac{-2 x}{9}$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{-16 x}{9 y} ...(ii)$
स्पर्श रेखाएँ, जो $x-$अक्ष के समांतर है, के लिए,
$\frac{d y}{d x} = 0 \Rightarrow \frac{-16 x}{9 x} = 0 \Rightarrow x = 0$
$\Rightarrow$ जब $x = 0,$ तब समी $(i)$ से, $\frac{0^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = 1 \Rightarrow y^{2 }= 16$
$ \Rightarrow y = \pm 4$
अतः वक्र $(i)$ के बिंदु $(0, 4)$ और $(0, -4)$ पर, स्पर्श रेखाएँ $x-$अक्ष के समांतर हैं
$\Rightarrow x$ के सापेक्ष दोनों ओर का अवकलन करने पर,
$\frac{2 x}{9} + \frac{1}{16} (2y \frac{d y}{d x}) = 0 \Rightarrow \frac{y}{8} \frac{d y}{d x} = \frac{-2 x}{9}$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{-16 x}{9 y} ...(ii)$
स्पर्श रेखाएँ, जो $x-$अक्ष के समांतर है, के लिए,
$\frac{d y}{d x} = 0 \Rightarrow \frac{-16 x}{9 x} = 0 \Rightarrow x = 0$
$\Rightarrow$ जब $x = 0,$ तब समी $(i)$ से, $\frac{0^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = 1 \Rightarrow y^{2 }= 16$
$ \Rightarrow y = \pm 4$
अतः वक्र $(i)$ के बिंदु $(0, 4)$ और $(0, -4)$ पर, स्पर्श रेखाएँ $x-$अक्ष के समांतर हैं
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