$y = x^3$ के $(1, 1)$ पर दिए वक्र पर निर्दिष्ट बिंदुओं पर स्पर्श रेखा और अभिलंब के समीकरण ज्ञात कीजिए।
Exercise-6.3-14(3)
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दिए गए वक्र का समीकरण है, $y = x^3$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{d y}{d x} = 3x^2$
$\therefore$ बिंदु $(1, 1)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता, $\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(1,1)} = 3(1)^2 = 3$
इसलिए, बिंदु $(1, 1)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $3$ है और स्पर्श रेखा का समीकरण
$y - 1 = 3 (x - 1)$
$\Rightarrow y - 1 = 3x - 3 $
$\Rightarrow y = 3x - 2$
पुनः बिंदु $(1, 1)$ पर, अभिलंब की प्रवणता,
इसलिए बिंदु $(1, 1)$ पर, अभिलंब का समीकरण
$y - 1 = - \frac{1}{3} (x - 1) $
$\Rightarrow 3y - 3 = - x + 1 $
$\Rightarrow x + 3y - 4 = 0$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{d y}{d x} = 3x^2$
$\therefore$ बिंदु $(1, 1)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता, $\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(1,1)} = 3(1)^2 = 3$
इसलिए, बिंदु $(1, 1)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $3$ है और स्पर्श रेखा का समीकरण
$y - 1 = 3 (x - 1)$
$\Rightarrow y - 1 = 3x - 3 $
$\Rightarrow y = 3x - 2$
पुनः बिंदु $(1, 1)$ पर, अभिलंब की प्रवणता,
इसलिए बिंदु $(1, 1)$ पर, अभिलंब का समीकरण
$y - 1 = - \frac{1}{3} (x - 1) $
$\Rightarrow 3y - 3 = - x + 1 $
$\Rightarrow x + 3y - 4 = 0$
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