वक्र $y = x^{2 }- 2x + 7$ की स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $5y - 15x = 13$ पर लंब है।
Exercise-6.3-15(2)
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दिए गए वक्र का समीकरण है, $y = x^{2 }- 2x + 7 ...(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$ \frac{d y}{d x} = 2x - 2$
दी गई रेखा का समीकरण है, $5y - 15x = 13$
$\Rightarrow y = 3x + \frac{13}{5}$
यह समीकरण $y = mx + c$ के प्रकार का है।
$\therefore$ रेखा की प्रवणता $3$ है।
यदि स्पर्श रेखा दी गई रेखा $5y - 15x = 13$ पर अभिलंब है,
तब स्पर्श रेखा की प्रवणता $= - \frac{1}{3} ($प्रवणता का गुणनफल, $m_1 \times m_{2 }= 1, m_{2 }= \frac{-1}{m_{1}})$
$\therefore 2x - 2 = - \frac{1}{3}$
$\Rightarrow 2x = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3} \Rightarrow x = \frac{5}{6}$
जब $x = \frac{5}{6},$ तब समी $(i) $से,
$y = \left(\frac{5}{6}\right)^{2} - 2\left(\frac{5}{6}\right) + 7 = \frac{25}{36} - \frac{5}{3} + 7 = \frac{25-60+252}{36} = \frac{217}{36}$
अतः बिंदु $(\frac{5}{6}, \frac{217}{36})$ पर दिए वक्र की स्पर्श रेखा दी हुई रेखा पर अभिलंब है और स्पर्श रेखा का समीकरण,
$y - \frac{217}{36} = \frac{-1}{3} \left(x-\frac{5}{6}\right)$
$\Rightarrow y - \frac{217}{36} = - \frac{x}{3} + \frac{5}{18}$
$\Rightarrow12x + 36y - 227 = 0$
अतः $36y + 12x - 227 = 0$ दिए गए वक्र के स्पर्श रेखा का समीकरण है जोकि दी गई रेखा $5y - 15 x = 13$ पर अभिलंब है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$ \frac{d y}{d x} = 2x - 2$
दी गई रेखा का समीकरण है, $5y - 15x = 13$
$\Rightarrow y = 3x + \frac{13}{5}$
यह समीकरण $y = mx + c$ के प्रकार का है।
$\therefore$ रेखा की प्रवणता $3$ है।
यदि स्पर्श रेखा दी गई रेखा $5y - 15x = 13$ पर अभिलंब है,
तब स्पर्श रेखा की प्रवणता $= - \frac{1}{3} ($प्रवणता का गुणनफल, $m_1 \times m_{2 }= 1, m_{2 }= \frac{-1}{m_{1}})$
$\therefore 2x - 2 = - \frac{1}{3}$
$\Rightarrow 2x = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3} \Rightarrow x = \frac{5}{6}$
जब $x = \frac{5}{6},$ तब समी $(i) $से,
$y = \left(\frac{5}{6}\right)^{2} - 2\left(\frac{5}{6}\right) + 7 = \frac{25}{36} - \frac{5}{3} + 7 = \frac{25-60+252}{36} = \frac{217}{36}$
अतः बिंदु $(\frac{5}{6}, \frac{217}{36})$ पर दिए वक्र की स्पर्श रेखा दी हुई रेखा पर अभिलंब है और स्पर्श रेखा का समीकरण,
$y - \frac{217}{36} = \frac{-1}{3} \left(x-\frac{5}{6}\right)$
$\Rightarrow y - \frac{217}{36} = - \frac{x}{3} + \frac{5}{18}$
$\Rightarrow12x + 36y - 227 = 0$
अतः $36y + 12x - 227 = 0$ दिए गए वक्र के स्पर्श रेखा का समीकरण है जोकि दी गई रेखा $5y - 15 x = 13$ पर अभिलंब है।
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