एक कण मूल बिन्दु $(0,0)$ से आरम्भ कर $( x , y )$ तल में एक सीधी रेखा पर चलता है। कुछ समय पश्चात् के क्षण पर इसके निर्देशांक $(\sqrt{3}, 3)$ होते हैं। इस कण के चलन पथ का $x$-अक्ष के साथ कोण होगा-
[2007]
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(c) त्वरण, $f = f _0\left(1-\frac{ t }{ T }\right)$
या $\frac{ dv }{ dt }= f _0\left(1-\frac{ t }{ T }\right)$ या $dv = f _0\left(1-\frac{ t }{ T }\right) dt$
$\Rightarrow v=\int d v=\int\left[f_0\left(1-\frac{t}{T}\right)\right] d t$
या $v=f_0\left(t-\frac{t^2}{2 T}\right)+C$,
जहाँ $C$ अवकल-नियतांक है। लेकिन $t=0$ पर, $v=0$.
$ \begin{aligned} & \therefore 0= f _0\left(0-\frac{0}{2 T }\right)+ C \\ & \Rightarrow C =0 \\ & \therefore v = f _0\left( t -\frac{ t ^2}{2 T }\right) \end{aligned} $
यदि $f =0$, तब
$ 0=f_0\left(1-\frac{t}{T}\right) $
या $1-\frac{ t }{ T }=0$
$ \Rightarrow t = T $
अत : समय-अन्तराल $t =0$ से $t = T$ के मध्य वस्तु की चाल,
$ \begin{aligned} v_x & =\int_{t=0}^{t=T} d v=\int_{t=0}^T\left[f_0\left(1-\frac{t}{T}\right)\right] d t \\ & =f_0\left[\left(t-\frac{t^2}{2 T }\right)\right]_0^T \\ & = f _0\left( T -\frac{ T ^2}{2 T }\right)= f _0\left( T -\frac{ T }{2}\right) \\ & =\frac{1}{2} f _0 T . \end{aligned} $
या $\frac{ dv }{ dt }= f _0\left(1-\frac{ t }{ T }\right)$ या $dv = f _0\left(1-\frac{ t }{ T }\right) dt$
$\Rightarrow v=\int d v=\int\left[f_0\left(1-\frac{t}{T}\right)\right] d t$
या $v=f_0\left(t-\frac{t^2}{2 T}\right)+C$,
जहाँ $C$ अवकल-नियतांक है। लेकिन $t=0$ पर, $v=0$.
$ \begin{aligned} & \therefore 0= f _0\left(0-\frac{0}{2 T }\right)+ C \\ & \Rightarrow C =0 \\ & \therefore v = f _0\left( t -\frac{ t ^2}{2 T }\right) \end{aligned} $
यदि $f =0$, तब
$ 0=f_0\left(1-\frac{t}{T}\right) $
या $1-\frac{ t }{ T }=0$
$ \Rightarrow t = T $
अत : समय-अन्तराल $t =0$ से $t = T$ के मध्य वस्तु की चाल,
$ \begin{aligned} v_x & =\int_{t=0}^{t=T} d v=\int_{t=0}^T\left[f_0\left(1-\frac{t}{T}\right)\right] d t \\ & =f_0\left[\left(t-\frac{t^2}{2 T }\right)\right]_0^T \\ & = f _0\left( T -\frac{ T ^2}{2 T }\right)= f _0\left( T -\frac{ T }{2}\right) \\ & =\frac{1}{2} f _0 T . \end{aligned} $
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