एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई उसके आधार से $7 \ cm$ कम है। यदि कर्ण $13 \ cm$ का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
Exercise-4.2-5
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मान लीजिए समकोण त्रिभुज का आधार $x \ cm$ है, तो त्रिभुज की ऊँचाई $= (x - 7) \ cm ($प्रश्नानुसार$)$
चूँकि $($आधार$)^2 + ($ऊँचाई$)^2 = ($कर्ण$)^2 ($पाइथागोरस प्रमेय से$)$
$\Rightarrow (x)^2 + (x - 7)^2 = (13)^2 (\because$ कर्ण $= 13 \ cm$ दिया है$)$
$\Rightarrow x^2 + x^2 - 14x + 49 = 169$
$\Rightarrow 2x^2 - 14x - 120 = 0$
$\Rightarrow x^2 - 7x - 60 = 0$
$\Rightarrow x^2 - 12x + 5x - 60 = 0$
$\Rightarrow x(x - 12) + 5 (x - 12) = 0$
$\Rightarrow (x - 12) (x + 5) = 0$
या तो $x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5 ($जो असम्भव है$)$
अथवा $x - 12 = 0 \Rightarrow x = 12 \ cm$
$\Rightarrow$ ऊँचाई $= x = 12 - 7 = 5 \ cm$
अतः समकोण त्रिभुज का आधार $= 12 \ cm$ तथा ऊँचाई $= 5 \ cm$ है।
चूँकि $($आधार$)^2 + ($ऊँचाई$)^2 = ($कर्ण$)^2 ($पाइथागोरस प्रमेय से$)$
$\Rightarrow (x)^2 + (x - 7)^2 = (13)^2 (\because$ कर्ण $= 13 \ cm$ दिया है$)$
$\Rightarrow x^2 + x^2 - 14x + 49 = 169$
$\Rightarrow 2x^2 - 14x - 120 = 0$
$\Rightarrow x^2 - 7x - 60 = 0$
$\Rightarrow x^2 - 12x + 5x - 60 = 0$
$\Rightarrow x(x - 12) + 5 (x - 12) = 0$
$\Rightarrow (x - 12) (x + 5) = 0$
या तो $x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5 ($जो असम्भव है$)$
अथवा $x - 12 = 0 \Rightarrow x = 12 \ cm$
$\Rightarrow$ ऊँचाई $= x = 12 - 7 = 5 \ cm$
अतः समकोण त्रिभुज का आधार $= 12 \ cm$ तथा ऊँचाई $= 5 \ cm$ है।
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