$f(x) = x^2$ के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हों तो, ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
Exercise-6.5-3(1)
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दिया गया फलन $f(x) = x^2$
$\therefore x $के सापेक्ष अवकलन करने पर
$f^{\prime}(x) = 2x$ और पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $f^{\prime \prime}(x) = 2$
उच्चतम और न्यूनतम के लिए, $f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर,
$\therefore 2x = 0$
$\Rightarrow x = 0$
इसलिए, $x = 0$ केवल वह बिंदु है जिस पर $f$ का स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम बिंदु हो सकता है।
अब, $f^{\prime \prime}(0) = 2 > 0 ($जो कि धनात्मक है$)$
इसलिए, द्वितीय अवकलन परीक्षण द्वारा $x = 0, f$
के स्थानीय न्यूनतम का बिंदु है और $x = 0$ पर $f$ का स्थानीय न्यूनतम मान $f(0) = x^2 = 0^2 = 0$
$\therefore x $के सापेक्ष अवकलन करने पर
$f^{\prime}(x) = 2x$ और पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $f^{\prime \prime}(x) = 2$
उच्चतम और न्यूनतम के लिए, $f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर,
$\therefore 2x = 0$
$\Rightarrow x = 0$
इसलिए, $x = 0$ केवल वह बिंदु है जिस पर $f$ का स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम बिंदु हो सकता है।
अब, $f^{\prime \prime}(0) = 2 > 0 ($जो कि धनात्मक है$)$
इसलिए, द्वितीय अवकलन परीक्षण द्वारा $x = 0, f$
के स्थानीय न्यूनतम का बिंदु है और $x = 0$ पर $f$ का स्थानीय न्यूनतम मान $f(0) = x^2 = 0^2 = 0$
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