प्रवणता $2$ वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र $y + \frac{2}{(x-3)} = 0$ को स्पर्श करती है।
EXAMPLE-16
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दिए वक्र के बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{d y}{d x} = \frac{2}{(x-3)^{2}}$ है।
क्योंकि प्रवणता $2$ दिया गया है इसलिए,
$\frac{2}{(x-3)^{2}} = 2$
या $(x - 3)^2 = 1$
या $x - 3 = \pm 1$
या $x = 2, 4$
अब $x = 2$ से $y = 2$ और $x = 4$ से $y = - 2$ प्राप्त होता है। इस प्रकार, दिए वक्र की प्रवणता $2$ वाली दो स्पर्श रेखाएँ हैं जो क्रमशः बिंदुओं $(2, 2)$ और $(4, -2)$ से जाती है। अतः $(2, 2)$ से जाने वाली स्पर्श रेखा का समीकरण:
$y - 2 = 2(x - 2)$ है।
या $y - 2x + 2 = 0$
या तथा $(4, -2)$ से जाने वाली स्पर्श रेखा का समीकरण
$y - (- 2) = 2(x - 4)$
$y - 2x + 10 = 0$ है।
क्योंकि प्रवणता $2$ दिया गया है इसलिए,
$\frac{2}{(x-3)^{2}} = 2$
या $(x - 3)^2 = 1$
या $x - 3 = \pm 1$
या $x = 2, 4$
अब $x = 2$ से $y = 2$ और $x = 4$ से $y = - 2$ प्राप्त होता है। इस प्रकार, दिए वक्र की प्रवणता $2$ वाली दो स्पर्श रेखाएँ हैं जो क्रमशः बिंदुओं $(2, 2)$ और $(4, -2)$ से जाती है। अतः $(2, 2)$ से जाने वाली स्पर्श रेखा का समीकरण:
$y - 2 = 2(x - 2)$ है।
या $y - 2x + 2 = 0$
या तथा $(4, -2)$ से जाने वाली स्पर्श रेखा का समीकरण
$y - (- 2) = 2(x - 4)$
$y - 2x + 10 = 0$ है।
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