$f(x) = x^{3 }- 6x^{2 }+ 9x + 15$ के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हों तो, ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
Exercise-6.5-3(5)
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दिया गया फलन $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15$
$\Rightarrow f^{\prime}(x) = 3x^{2 }- 12x + 9$ तथा $f^{\prime \prime}(x) = 6x - 12$
उच्चतम और न्यूनतम के लिए $f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर
$\Rightarrow 3x^{2 }- 12x + 9 = 0 \Rightarrow 3\left(x^{2}-4 x+3\right) = 0$
$\Rightarrow 3\left(x^{2}-3 x-x+3\right) = 0 \Rightarrow 3[x(x - 3) -1(x - 3)] = 0$
$\Rightarrow 3(x - 1)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 1$ या $x = 3$
$x = 1$ पर, $f^{\prime \prime}(1) = 6 \times 1 - 12 = 6 - 12 = - 6 < 0$
$\therefore x = 1$ उच्चतम का बिंदु है।
उच्चतम मान $= f(1) = (1)^3- 6 (1)^{2 }+ 9(1) + 15 = 1 - 6 + 9 + 15 = 19$
$x = 3$ पर, $f^{\prime \prime}(3) = 6 \times 3 - 12 = 18 - 12 = 6 > 0$
$x = 3$ न्यूनतम का बिंदु है।
$\therefore$ न्यूनतम मान $= f(3) = 3^{3 }- 6 \times 3^2+ 9 \times 3 + 15$
$= 27 - 54 + 27 + 15 = 15$
$\Rightarrow f^{\prime}(x) = 3x^{2 }- 12x + 9$ तथा $f^{\prime \prime}(x) = 6x - 12$
उच्चतम और न्यूनतम के लिए $f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर
$\Rightarrow 3x^{2 }- 12x + 9 = 0 \Rightarrow 3\left(x^{2}-4 x+3\right) = 0$
$\Rightarrow 3\left(x^{2}-3 x-x+3\right) = 0 \Rightarrow 3[x(x - 3) -1(x - 3)] = 0$
$\Rightarrow 3(x - 1)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 1$ या $x = 3$
$x = 1$ पर, $f^{\prime \prime}(1) = 6 \times 1 - 12 = 6 - 12 = - 6 < 0$
$\therefore x = 1$ उच्चतम का बिंदु है।
उच्चतम मान $= f(1) = (1)^3- 6 (1)^{2 }+ 9(1) + 15 = 1 - 6 + 9 + 15 = 19$
$x = 3$ पर, $f^{\prime \prime}(3) = 6 \times 3 - 12 = 18 - 12 = 6 > 0$
$x = 3$ न्यूनतम का बिंदु है।
$\therefore$ न्यूनतम मान $= f(3) = 3^{3 }- 6 \times 3^2+ 9 \times 3 + 15$
$= 27 - 54 + 27 + 15 = 15$
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