वक्र $y = 4x^{3 }- 2x^5,$ पर उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ मूल बिंदु से होकर जाती हैं।
Exercise-6.3-18
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दिए गए वक्र का समीकरण है, $y = 4x^3 - 2x^5 ...(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d y}{d x} = 12x^2 - 10x^4$
इसलिए, बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $12x^2 - 10x^4$ है।
बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण
$y - y = (12x^2 - 10x^4)(X - x) ...(ii)$
जब स्पर्श रेखा मूलबिंदु से होकर जाती है, तब $x = y = 0$
इसलिए समी $(i)$ से, $- y = (12x^2 - 10x^4)(- x)$
$\Rightarrow y = 12x^3 - 10x^5$
और $y = 4x^3 - 2x^5$
$\therefore 12x^3 - 10x^5 = 4x^3 - 2x^5$
$\Rightarrow 8x^5 - 8x^3 = 0 \Rightarrow x^{5 }- x^{3 }= 0$
जब $x^3 (x^2 - 1) = 0 \Rightarrow x = 0, \pm 1$
जब $x = 0, y = 4(0)^3 - 2(0)^5 = 0$
जब $x = 1, y = 4(1)^3 - 2(1)^5 = 2$
जब $x = - 1, y = 4(- 1)^3 - 2(- 1)^5 = - 2$
अतः, आवश्यक बिंदु $(0, 0), (1, 2)$ और $(-1, -2)$ हैं।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d y}{d x} = 12x^2 - 10x^4$
इसलिए, बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $12x^2 - 10x^4$ है।
बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण
$y - y = (12x^2 - 10x^4)(X - x) ...(ii)$
जब स्पर्श रेखा मूलबिंदु से होकर जाती है, तब $x = y = 0$
इसलिए समी $(i)$ से, $- y = (12x^2 - 10x^4)(- x)$
$\Rightarrow y = 12x^3 - 10x^5$
और $y = 4x^3 - 2x^5$
$\therefore 12x^3 - 10x^5 = 4x^3 - 2x^5$
$\Rightarrow 8x^5 - 8x^3 = 0 \Rightarrow x^{5 }- x^{3 }= 0$
जब $x^3 (x^2 - 1) = 0 \Rightarrow x = 0, \pm 1$
जब $x = 0, y = 4(0)^3 - 2(0)^5 = 0$
जब $x = 1, y = 4(1)^3 - 2(1)^5 = 2$
जब $x = - 1, y = 4(- 1)^3 - 2(- 1)^5 = - 2$
अतः, आवश्यक बिंदु $(0, 0), (1, 2)$ और $(-1, -2)$ हैं।
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