Rajasthan Boardहिन्दी माध्यमकक्षा 12 साइन्सगणितसमाकलन2 Marks
Question
$\int \frac{x \sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x$ ज्ञात कीजिए।
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Answer
मान लीजिए प्रथम फलन $= \sin^{-1} x,$ और द्वितीय फलन $=\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$
अब हम द्वितीय फलन का समाकलन ज्ञात करते हैं अर्थात् $\int \frac{x d x}{\sqrt{1-x^{2}}}$ ज्ञात करते हैं।
$t = 1 - x^2$ रखिए
तब $dt = -2x dx$
इसलिए $\int \frac{x d x}{\sqrt{1-x^{2}}}$
$=-\frac{1}{2} \int \frac{d t}{\sqrt{t}}$
$=-\sqrt{t}=-\sqrt{1-x^{2}}$
अतः $\int \frac{x \sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x$
$=\sin ^{-1} x\left(-\sqrt{1-x^{2}}\right)$
$-\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\left(-\sqrt{1-x^{2}}\right) d x$
$=-\sqrt{1-x^{2}} \sin ^{-1} x + x + C $
$= x -\sqrt{1-x^{2}} \sin ^{-1} x+\mathrm{C} $
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