मान लीजिए कि $f : W \rightarrow W, f(n) = n - 1$, यदि $n$ विषम है तथा $f(n) = n + 1,$ यदि $n$ सम है, द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि $f$ व्युत्क्रमणीय है। f का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए। यहाँ $W$ समस्त पूर्णांकों का समुच्चय है।
Miscellaneous Exercise-2
Download our app for free and get started
दिया गया फलन $f : W \rightarrow W, f(n) =$ 
द्वारा परिभाषित है।
मान लीजिए $f(n) = f(m)$
अब, यदि n विषम तथा m सम हो, तो
$n - 1 = m + 1$
$\Rightarrow n - m = 2$
जोकि संभव नहीं है।
इसी प्रकार यदि $n$ सम तथा $m$ विषम हो, तो एक असंभव परिणाम प्राप्त होगा। अतः $n$ तथा $m$ दोनों या तो सम होंगे या दोनों विषम होंगे।
अब, यदि $n$ तथा $m$ दोनों विषम हों, तो
$f(n) = f(m) $
$\Rightarrow n - 1 = m - 1 $
$\Rightarrow n = m$
पुनः यदि दोनों सम हों, तो
$f(n) = f(m) $
$ \Rightarrow n + 1 = m + 1 $
$ \Rightarrow n = m$
अतः $f$ एकैकी फलन है।
अतः स्पष्ट है कि सहप्रांत $W$ में स्थित प्रत्येक विषम संख्या $2r + 1,$ प्रांत $W$ की सम संख्या $2r$ का प्रतिबिंब है तथा सहप्रांत $W$ में स्थित प्रत्येक सम संख्या $2r,$ प्रांत $W$ विषम संख्या $2r + 1$ का प्रतिबिंब है।
$\therefore$ आच्छादक फलन है।
अतः $f$ प्रतिलोमी फलन है।
अब, मान लीजिए $g : W \rightarrow W$
द्वारा परिभाषित है।
जब $n$ विषम हो, तो
$(gof)(n) = g(f(n)) = g(n - 1)$
$= n - 1 + 1 = n (\because n$ विषम है $\therefore n - 1$ सम है$)$
जब $n$ सम हो, तो
$(gof)(n) = g(f(n)) = g(n + 1)$
$= n + 1 - 1 = n (\because n$ सम है तथा $\therefore n + 1$ विषम है$)$
इसी प्रकार, जब $m$ विषम हो, तो
जब $m$ सम हो तो $(fog)(m) = f(g(m)) = f(m - 1) = m - 1 + 1 = m$
जब $m$ सम हो, तो $(fog)(m) = f(g(m)) = f(m + 1) = m + 1 - 1 = m$
$\therefore gof = I_W$ तथा $fog = l_W$
अतः $f$ प्रतिलोमीय फलन है तथा f का प्रतिलोम $f^{-1 }= g = f$ है। अतः $f$ का प्रतिलोम $f$ स्वयं ही है।
द्वारा परिभाषित है।मान लीजिए $f(n) = f(m)$
अब, यदि n विषम तथा m सम हो, तो
$n - 1 = m + 1$
$\Rightarrow n - m = 2$
जोकि संभव नहीं है।
इसी प्रकार यदि $n$ सम तथा $m$ विषम हो, तो एक असंभव परिणाम प्राप्त होगा। अतः $n$ तथा $m$ दोनों या तो सम होंगे या दोनों विषम होंगे।
अब, यदि $n$ तथा $m$ दोनों विषम हों, तो
$f(n) = f(m) $
$\Rightarrow n - 1 = m - 1 $
$\Rightarrow n = m$
पुनः यदि दोनों सम हों, तो
$f(n) = f(m) $
$ \Rightarrow n + 1 = m + 1 $
$ \Rightarrow n = m$
अतः $f$ एकैकी फलन है।
अतः स्पष्ट है कि सहप्रांत $W$ में स्थित प्रत्येक विषम संख्या $2r + 1,$ प्रांत $W$ की सम संख्या $2r$ का प्रतिबिंब है तथा सहप्रांत $W$ में स्थित प्रत्येक सम संख्या $2r,$ प्रांत $W$ विषम संख्या $2r + 1$ का प्रतिबिंब है।
$\therefore$ आच्छादक फलन है।
अतः $f$ प्रतिलोमी फलन है।
अब, मान लीजिए $g : W \rightarrow W$
द्वारा परिभाषित है।जब $n$ विषम हो, तो
$(gof)(n) = g(f(n)) = g(n - 1)$
$= n - 1 + 1 = n (\because n$ विषम है $\therefore n - 1$ सम है$)$
जब $n$ सम हो, तो
$(gof)(n) = g(f(n)) = g(n + 1)$
$= n + 1 - 1 = n (\because n$ सम है तथा $\therefore n + 1$ विषम है$)$
इसी प्रकार, जब $m$ विषम हो, तो
जब $m$ सम हो तो $(fog)(m) = f(g(m)) = f(m - 1) = m - 1 + 1 = m$
जब $m$ सम हो, तो $(fog)(m) = f(g(m)) = f(m + 1) = m + 1 - 1 = m$
$\therefore gof = I_W$ तथा $fog = l_W$
अतः $f$ प्रतिलोमीय फलन है तथा f का प्रतिलोम $f^{-1 }= g = f$ है। अतः $f$ का प्रतिलोम $f$ स्वयं ही है।
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1फलन की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुण की जाँच कीजिए:View Solution
$f(x)=x^{2}$ द्वारा प्रदत्त f: $\mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$ फलन है। - 2मान लीजिए कि $f : R \rightarrow R, f(x) = 10x + 7$ द्वारा परिभाषित फलन है। एक ऐसा फलन $g : R \rightarrow R$ ज्ञात कीजिए जिसके लिए $gof = fog = I_R$ हो।View Solution
- 3फलन की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुण की जाँच कीजिए:View Solution
$f(x)=x^{3}$ द्वारा प्रदत्त f: $\mathbf{Z} \rightarrow \mathbf{Z} $ फलन है। - 4किसी प्रदत्त अरिक्त समुच्चय $X$ के लिए एक द्विआधारी संक्रिया $*: P(X) \times P(X) \rightarrow P(X)$ पर विचार कीजिए, जो $A * B = A \cap B, \forall A, B \in P(X)$ द्वारा परिभाषित है, जहाँ $P(X)$ समुच्चय $X$ का घात समुच्चय $($Power set$)$ है। सिद्ध कीजिए कि इस संक्रिया का तत्समक अवयव $X$ है तथा संक्रिया $*$ के लिए $P(X)$ में केवल $X$ व्युत्क्रमणीय अवयव है।View Solution
- 5फलन की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुण की जाँच कीजिए:View Solution
$f(x)=x^{2}$ द्वारा प्रदत्त f: $\mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} $ फलन है। - 6सिद्ध कीजिए कि $f(x)=\frac{1}{x}$ द्वारा परिभाषित फलन $f: \mathbf{R}_{*} \rightarrow \mathbf{R}_{*}$ एकैकी तथा आच्छादक है, जहाँ $\mathbf{R}_{*}$सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। यदि प्रांत $\mathbf{R}_{*}$ को N से बदल दिया जाए, जब कि सहप्रांत पूर्ववत $\mathbf{R}_{\boldsymbol{*}}$ ही रहे, तो भी क्या यह परिणाम सत्य होगा?View Solution
- 7दो फलनों f : N $\rightarrow$ N तथा g : N $\rightarrow$ N के उदाहरण दीजिए, जो इस प्रकार हों कि gof आच्छादक है किंतु f आच्छादक नहीं है।View Solution
- 8सिद्ध कीजिए कि f : R $ \rightarrow$ {x $\in$ R: - 1 < x < 1}, जहाँ f(x) = $\frac{x}{1+|x|}$, x $\in$ R द्वारा परिभाषित फलन एकैकी तथा आच्छादक है।View Solution
- 9दो फलनों f: N $ \rightarrow$ Z तथा g : Z $ \rightarrow$ Z के उदाहरण दीजिए जो इस प्रकार हों कि, gof एकैक है परंतु g एकैक नहीं है।View Solution
- 10View Solutionऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए, जो सममित हो परंतु न तो स्वतुल्य हो और न संक्रामक हो।