सिद्ध कीजिए कि $f(x)=\frac{1}{x}$ द्वारा परिभाषित फलन $f: \mathbf{R}_{*} \rightarrow \mathbf{R}_{*}$ एकैकी तथा आच्छादक है, जहाँ $\mathbf{R}_{*}$सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। यदि प्रांत $\mathbf{R}_{*}$ को N से बदल दिया जाए, जब कि सहप्रांत पूर्ववत $\mathbf{R}_{\boldsymbol{*}}$ ही रहे, तो भी क्या यह परिणाम सत्य होगा?
Exercise-1.2-1
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दिया गया फलन f: $ R_{*} \rightarrow R_{*} $ में, $ f(x)=\frac{1}{x}, \forall x \in R_{\star}$ द्वारा परिभाषित फलन है। मान लीजिए x, y $\in R_{\star}$ इस प्रकार है कि $f(x)=f(y) \Rightarrow \frac{1}{x}=\frac{1}{y} \Rightarrow x=y$
$\therefore f $ एकैकी फलन है। चूँकि प्रत्येक $y \in R_{\star} $ के लिए $x=\frac{1}{y} \in R_{*}$
इस प्रकार है कि
$ f(x)=f\left(\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{\left(\frac{1}{y}\right)}=y $
अतः f आच्छादक फलन है।
$\therefore$ फलन f एकैकी आच्छादक फलन है।
पुनः मान लीजिए $ g: N \rightarrow R_{\star}$ में, $g(x)=\frac{1}{x}, \forall x \in N$
द्वारा परिभाषित फलन है। मान लीजिए $x, y \in N$ इस प्रकार है कि
$ f(x)=f(y) \Rightarrow \frac{1}{x}=\frac{1}{y} \Rightarrow x=y $
$\therefore$ g एकैकी फलन है। अब, चूँकि $ 12 \in R_{*}$ के लिए N में कोई अवयव $x \in N$
इस प्रकार नहीं है कि
$g(x)=\frac{1}{12}$
अतः g एकैकी फलन है लेकिन आच्छादक फलन नहीं है।
$\therefore f $ एकैकी फलन है। चूँकि प्रत्येक $y \in R_{\star} $ के लिए $x=\frac{1}{y} \in R_{*}$
इस प्रकार है कि
$ f(x)=f\left(\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{\left(\frac{1}{y}\right)}=y $
अतः f आच्छादक फलन है।
$\therefore$ फलन f एकैकी आच्छादक फलन है।
पुनः मान लीजिए $ g: N \rightarrow R_{\star}$ में, $g(x)=\frac{1}{x}, \forall x \in N$
द्वारा परिभाषित फलन है। मान लीजिए $x, y \in N$ इस प्रकार है कि
$ f(x)=f(y) \Rightarrow \frac{1}{x}=\frac{1}{y} \Rightarrow x=y $
$\therefore$ g एकैकी फलन है। अब, चूँकि $ 12 \in R_{*}$ के लिए N में कोई अवयव $x \in N$
इस प्रकार नहीं है कि
$g(x)=\frac{1}{12}$
अतः g एकैकी फलन है लेकिन आच्छादक फलन नहीं है।
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