किसी प्रदत्त अरिक्त समुच्चय $X$ के लिए एक द्विआधारी संक्रिया $*: P(X) \times P(X) \rightarrow P(X)$ पर विचार कीजिए, जो $A * B = A \cap B, \forall A, B \in P(X)$ द्वारा परिभाषित है, जहाँ $P(X)$ समुच्चय $X$ का घात समुच्चय $($Power set$)$ है। सिद्ध कीजिए कि इस संक्रिया का तत्समक अवयव $X$ है तथा संक्रिया $*$ के लिए $P(X)$ में केवल $X$ व्युत्क्रमणीय अवयव है।
Miscellaneous Exercise-9
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समुच्चय $P(X)$ पर द्विआधारी संक्रिया$ *, A * B = A \cap B, \forall A, B \in P(X)$
द्वारा परिभाषित है। चूँकि हम जानते हैं कि
$A * X= A \cap X = A = X \cap A = X * A$
$\therefore A^* X = X^* A, \forall A \in P(X)$
अतः $P(X)$ में द्विआधारी संक्रिया $A * B = A \cap B$
के लिए $X$ तत्समक अवयव है।
अब अवयव $A \in P(X)$ प्रतिलोमी होगा, यदि $P(X)$ में एक अवयव $B \in P(X)$ इस प्रकार विद्यमान हो कि
$A * B = X = B * A$
अर्थात $A \cap B = X = B \cap A$
जोकि तभी संभव है जबकि $A = B = X$ हो। अतः $P(X)$ में संक्रिया $A * A \cap B$ के सापेक्ष केवल एक अवयव $X$ प्रतिलोमीय है।
द्वारा परिभाषित है। चूँकि हम जानते हैं कि
$A * X= A \cap X = A = X \cap A = X * A$
$\therefore A^* X = X^* A, \forall A \in P(X)$
अतः $P(X)$ में द्विआधारी संक्रिया $A * B = A \cap B$
के लिए $X$ तत्समक अवयव है।
अब अवयव $A \in P(X)$ प्रतिलोमी होगा, यदि $P(X)$ में एक अवयव $B \in P(X)$ इस प्रकार विद्यमान हो कि
$A * B = X = B * A$
अर्थात $A \cap B = X = B \cap A$
जोकि तभी संभव है जबकि $A = B = X$ हो। अतः $P(X)$ में संक्रिया $A * A \cap B$ के सापेक्ष केवल एक अवयव $X$ प्रतिलोमीय है।
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