सिद्ध कीजिए कि f : R $ \rightarrow$ {x $\in$ R: - 1 < x < 1}, जहाँ f(x) = $\frac{x}{1+|x|}$, x $\in$ R द्वारा परिभाषित फलन एकैकी तथा आच्छादक है।
Miscellaneous Exercise-4
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गया फलन f: R $\rightarrow$ {x $\in$ R :- 1 < x < 1}
f(x) = $\frac{x}{1+|x|}$, $\forall$ x $\in$ R द्वारा परिभाषित फलन है।
मान लीजिए f(x) = f(y), x, y $\in$ R $ \Rightarrow$ $ \frac{x}{1+|x|}$ = $\frac{y}{1+|y|}$
अब, यदि x-धनात्मक तथा y-ऋणात्मक हो, तो $\frac{x}{1+x}$ = $\frac{y}{1-y}$ $ \Rightarrow$ 2xy = x - y
चूँकि x-धनात्मक तथा y-ऋणात्मक है।
$\therefore$ x > y $\Rightarrow$ x - y > 0
लेकिन 2xy ऋणात्मक है।
$\therefore$ 2xy $\neq$ x - y
अतः x-धनात्मक तथा y-ऋणात्मक को छोड़ा जा सकता है। इसी प्रकार, x-ऋणात्मक तथा y-धनात्मक को भी छोड़ा जा सकता है।
अब, जब x तथा y दोनों धनात्मक हों, तो
f(x) = f(y) $\Rightarrow$ $\frac{x}{1+x}$ = $\frac{y}{1+y}$ $ \Rightarrow $ x + xy = y + xy $ \Rightarrow $ x = y
जब x तथा y दोनों ऋणात्मक हों, तो
f(x) = f(y) $\Rightarrow $ $\frac{x}{1-x}$ = $\frac{y}{1-y}$ $\Rightarrow $ x - xy = y - yx $\Rightarrow $ x = y
अतः f एकैकी फलन है।
अब, मान लीजिए y $\in$ R इस प्रकार है कि
-1 < y < 1
यदि y-ऋणात्मक हो, तो R में एक अवयव x = $\frac{y}{1+y}$ इस प्रकार विद्यमान होगा कि
f(x) = $f\left(\frac{y}{1+y}\right)$ = $\frac{\left(\frac{y}{1+y}\right)}{1+\left|\frac{y}{1+y}\right|}$ = $\frac{\frac{y}{1+y}}{1+\left(\frac{-y}{1+y}\right)}$ = $\frac{y}{1+y-y}$ = y
यदि y-धनात्मक हो, तो R में एक अवयव x = $\frac{y}{1-y}$ इस प्रकार विद्यमान होगा कि
f(x) = $f\left(\frac{y}{1-y}\right)$ = $\frac{\left(\frac{y}{1-y}\right)}{1+\left(\frac{y}{1-y}\right)}$ = $\frac{\frac{y}{1-y}}{1+\frac{y}{1-y}}$ = $\frac{y}{1-y+y}=y$
$\therefore$ फलन f आच्छादक फलन है।
अतः f एकैकी आच्छादक फलन है।
f(x) = $\frac{x}{1+|x|}$, $\forall$ x $\in$ R द्वारा परिभाषित फलन है।
मान लीजिए f(x) = f(y), x, y $\in$ R $ \Rightarrow$ $ \frac{x}{1+|x|}$ = $\frac{y}{1+|y|}$
अब, यदि x-धनात्मक तथा y-ऋणात्मक हो, तो $\frac{x}{1+x}$ = $\frac{y}{1-y}$ $ \Rightarrow$ 2xy = x - y
चूँकि x-धनात्मक तथा y-ऋणात्मक है।
$\therefore$ x > y $\Rightarrow$ x - y > 0
लेकिन 2xy ऋणात्मक है।
$\therefore$ 2xy $\neq$ x - y
अतः x-धनात्मक तथा y-ऋणात्मक को छोड़ा जा सकता है। इसी प्रकार, x-ऋणात्मक तथा y-धनात्मक को भी छोड़ा जा सकता है।
अब, जब x तथा y दोनों धनात्मक हों, तो
f(x) = f(y) $\Rightarrow$ $\frac{x}{1+x}$ = $\frac{y}{1+y}$ $ \Rightarrow $ x + xy = y + xy $ \Rightarrow $ x = y
जब x तथा y दोनों ऋणात्मक हों, तो
f(x) = f(y) $\Rightarrow $ $\frac{x}{1-x}$ = $\frac{y}{1-y}$ $\Rightarrow $ x - xy = y - yx $\Rightarrow $ x = y
अतः f एकैकी फलन है।
अब, मान लीजिए y $\in$ R इस प्रकार है कि
-1 < y < 1
यदि y-ऋणात्मक हो, तो R में एक अवयव x = $\frac{y}{1+y}$ इस प्रकार विद्यमान होगा कि
f(x) = $f\left(\frac{y}{1+y}\right)$ = $\frac{\left(\frac{y}{1+y}\right)}{1+\left|\frac{y}{1+y}\right|}$ = $\frac{\frac{y}{1+y}}{1+\left(\frac{-y}{1+y}\right)}$ = $\frac{y}{1+y-y}$ = y
यदि y-धनात्मक हो, तो R में एक अवयव x = $\frac{y}{1-y}$ इस प्रकार विद्यमान होगा कि
f(x) = $f\left(\frac{y}{1-y}\right)$ = $\frac{\left(\frac{y}{1-y}\right)}{1+\left(\frac{y}{1-y}\right)}$ = $\frac{\frac{y}{1-y}}{1+\frac{y}{1-y}}$ = $\frac{y}{1-y+y}=y$
$\therefore$ फलन f आच्छादक फलन है।
अतः f एकैकी आच्छादक फलन है।
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