मान लीजिए कि $f : R \rightarrow R, f(x) = 10x + 7$ द्वारा परिभाषित फलन है। एक ऐसा फलन $g : R \rightarrow R$ ज्ञात कीजिए जिसके लिए $gof = fog = I_R$ हो।
Miscellaneous Exercise-1
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दिया गया फलन $g : R \rightarrow R$
$f(x) = 10x + 7$ द्वारा परिभाषित है।
मान लीजिए $f(x) = f(y)$
$\Rightarrow 10x + 7 = 10y + 7 $
$\Rightarrow 10x = 10y$
$\Rightarrow x = y$
$ \therefore \forall x v \in R f(x) = f(y)$
अतः$ f$ एकैकी फलन है।
पुनः माना $y \in R ($परिसर$)$ इस प्रकार है कि $f(x) = y, $जहाँ $x \in R ($प्रांत$)$
$\Rightarrow 10x + 7 = y $
$\Rightarrow x = \frac{y-7}{10} \in R ($प्रांत$)$
अतः प्रत्येक $y \in R ($परिसर$)$ के लिए $R ($प्रांत$)$ में एक अवयव $x = \frac{y-7}{10}$ इस प्रकार विद्यमान है कि
$f(x) = f\left(\frac{y-7}{10}\right) = 10\left(\frac{y-7}{10}\right) + 7 = y - 7 + 7 = y$
अतः $f$ आच्छादक फलन है।
मान लीजिए$ g : R \rightarrow R$
$g(y) = \frac{y-7}{10}$ द्वारा परिभाषित है।
तब, $(gof) (x) = g(f(x)) = g (10x + 7) = \frac{(10 x+7)-7}{10} = \frac{10 x}{10} = x$
तथा $(fog)(y) = f(g(y)) = f\left(\frac{y-7}{10}\right) = 10\left(\frac{y-7}{10}\right) + 7 = y$
$\therefore gof = I_{R }$ तथा $fog = I_R$
अतः अभीष्ट फलन $g : R \rightarrow R$
$g(y) = \frac{y-7}{10}$ द्वारा परिभाषित है।
$f(x) = 10x + 7$ द्वारा परिभाषित है।
मान लीजिए $f(x) = f(y)$
$\Rightarrow 10x + 7 = 10y + 7 $
$\Rightarrow 10x = 10y$
$\Rightarrow x = y$
$ \therefore \forall x v \in R f(x) = f(y)$
अतः$ f$ एकैकी फलन है।
पुनः माना $y \in R ($परिसर$)$ इस प्रकार है कि $f(x) = y, $जहाँ $x \in R ($प्रांत$)$
$\Rightarrow 10x + 7 = y $
$\Rightarrow x = \frac{y-7}{10} \in R ($प्रांत$)$
अतः प्रत्येक $y \in R ($परिसर$)$ के लिए $R ($प्रांत$)$ में एक अवयव $x = \frac{y-7}{10}$ इस प्रकार विद्यमान है कि
$f(x) = f\left(\frac{y-7}{10}\right) = 10\left(\frac{y-7}{10}\right) + 7 = y - 7 + 7 = y$
अतः $f$ आच्छादक फलन है।
मान लीजिए$ g : R \rightarrow R$
$g(y) = \frac{y-7}{10}$ द्वारा परिभाषित है।
तब, $(gof) (x) = g(f(x)) = g (10x + 7) = \frac{(10 x+7)-7}{10} = \frac{10 x}{10} = x$
तथा $(fog)(y) = f(g(y)) = f\left(\frac{y-7}{10}\right) = 10\left(\frac{y-7}{10}\right) + 7 = y$
$\therefore gof = I_{R }$ तथा $fog = I_R$
अतः अभीष्ट फलन $g : R \rightarrow R$
$g(y) = \frac{y-7}{10}$ द्वारा परिभाषित है।
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