दो फलनों f : N $\rightarrow$ N तथा g : N $\rightarrow$ N के उदाहरण दीजिए, जो इस प्रकार हों कि gof आच्छादक है किंतु f आच्छादक नहीं है।
Miscellaneous Exercise-7
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मान लीजिए f : N $\rightarrow$ N, f(x) = x + 1 द्वारा परिभाषित फलन है
तथा g : N $\rightarrow$ N
द्वारा परिभाषित फलन है।
अब, सहप्रांत N का अवयव 1 लीजिए तथा मान लीजिए
$\Rightarrow$ x = 0, जो प्राकृतिक संख्या नहीं है।
$\therefore$ f आच्छादक फलन नहीं है।
अब, मान लीजिए
gof : N $ \rightarrow$ N
(gof)(x) = g(f(x)) = g(x + 1)
= (x + 1) - 1
= x[$\because$ x $ \in$ N $\Rightarrow$ (x + 1) > 1]
अतः स्पष्ट है कि प्रत्येक y $ \in$ N के लिए, x = y $ \in$ N इस प्रकार है कि (gof)(x) = y
अतः gof आच्छादक फलन है।
तथा g : N $\rightarrow$ N
द्वारा परिभाषित फलन है।
अब, सहप्रांत N का अवयव 1 लीजिए तथा मान लीजिए
$\Rightarrow$ x = 0, जो प्राकृतिक संख्या नहीं है।
$\therefore$ f आच्छादक फलन नहीं है।
अब, मान लीजिए
gof : N $ \rightarrow$ N
(gof)(x) = g(f(x)) = g(x + 1)
= (x + 1) - 1
= x[$\because$ x $ \in$ N $\Rightarrow$ (x + 1) > 1]
अतः स्पष्ट है कि प्रत्येक y $ \in$ N के लिए, x = y $ \in$ N इस प्रकार है कि (gof)(x) = y
अतः gof आच्छादक फलन है।
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