मूल बिंदु और (5, -2, 3) से जाने वाली रेखा का सदिश तथा कार्तीय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए।
Exercise-11.2-8
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माना बिंदुओं (0, 0, 0) तथा (5, -2, 3) के स्थिति सदिश क्रमशः a तथा b हैं
$\therefore$ $\vec{a}=0 \hat{{i}}+0 \hat{{j}}+0 \hat{{k}} $ तथा $\vec{b}=5 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}}$
हम जानते हैं कि दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा जिनके स्थिति सदिश क्रमशः a तथा b हैं, का सदिश समीकरण $\vec{r}=\vec{a}+\lambda$($\vec b - \vec a $) होता है। अतः
$\vec{r}$ = 0 + $\lambda(5 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}}-0)$
$\Rightarrow$ $\vec{r}$ = $\lambda(5 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})$ ...(i)
समी (i) में, $\vec{r}$ = $x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}$ रखने पर,
$x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}=\lambda(5 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})$
$\Rightarrow x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}$$=5 \lambda \hat{{i}}-2 \lambda \hat{{j}}+3 \lambda \hat{{k}}$
दोनों पक्षों में $\hat{{i}}, \hat{{j}}$ तथा $\hat{{k}}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,
x = 5$\lambda$, y = -2$\lambda$ तथा z = 3$\lambda$
$\therefore \frac{x}{5}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{3}=\lambda$
जोकि अभीष्ट रेखा का कार्तीय समीकरण है।
$\therefore$ $\vec{a}=0 \hat{{i}}+0 \hat{{j}}+0 \hat{{k}} $ तथा $\vec{b}=5 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}}$
हम जानते हैं कि दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा जिनके स्थिति सदिश क्रमशः a तथा b हैं, का सदिश समीकरण $\vec{r}=\vec{a}+\lambda$($\vec b - \vec a $) होता है। अतः
$\vec{r}$ = 0 + $\lambda(5 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}}-0)$
$\Rightarrow$ $\vec{r}$ = $\lambda(5 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})$ ...(i)
समी (i) में, $\vec{r}$ = $x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}$ रखने पर,
$x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}=\lambda(5 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})$
$\Rightarrow x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}$$=5 \lambda \hat{{i}}-2 \lambda \hat{{j}}+3 \lambda \hat{{k}}$
दोनों पक्षों में $\hat{{i}}, \hat{{j}}$ तथा $\hat{{k}}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,
x = 5$\lambda$, y = -2$\lambda$ तथा z = 3$\lambda$
$\therefore \frac{x}{5}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{3}=\lambda$
जोकि अभीष्ट रेखा का कार्तीय समीकरण है।
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