Question
निम्नलिखित फलन के सांतत्य पर विचार कीजिए:
✓
Answer
फलन f वास्तविक रेखा के प्रत्येक बिंदु पर परिभाषित है।
दशा 1 यदि c < 1, तो f(c) = c + 2 है। इस प्रकार $\lim \limits_{x \rightarrow c} $ f(x) = $\lim \limits_{x \rightarrow c}$ x + 2 = c + 2 है।
अतः 1 से कम सभी वास्तविक संख्याओं पर f संतत है।
दशा 2 यदि c > 1, तो f(c) = c - 2 है।
इसलिए $\lim \limits_{x \rightarrow c}$ f(x) = $\lim \limits_{x \rightarrow c}$ (x - 2) = c - 2 = f(c) है। अतएव उन सभी बिंदुओं पर जहाँ x > 1 है, f संतत है।
अतएव उन सभी बिंदुओं पर जहाँ x > 1 है, f संतत है। दशा 3 यदि c = 1, तो x = 1 पर f के बाएँ पक्ष की सीमा, अर्थात्
$\lim \limits_{x \rightarrow 1^{-}}$ f(x) = $\lim \limits_{x \rightarrow 1^{-}}$ (x + 2) = 1 + 2 = 3
x = 1 पर f के दाएँ पक्ष की सीमा, अर्थात्
$\lim \limits_{x \rightarrow 1^{+}}$ f(x) = $\lim \limits_{x \rightarrow 1^{-}}$(x - 2) = 1 - 2 = - 1
अब चूँकि x = 1 पर f के बाएँ तथा दाएँ पक्ष की सीमाएँ संपाती (coincident) नहीं हैं, अतः x = 1 पर f संतत नहीं है। इस प्रकार f के असांतत्य का बिंदु केवल मात्र x = 1 है। इस फलन का आलेख आकृति में दर्शाया गया है।
दशा 1 यदि c < 1, तो f(c) = c + 2 है। इस प्रकार $\lim \limits_{x \rightarrow c} $ f(x) = $\lim \limits_{x \rightarrow c}$ x + 2 = c + 2 है।
अतः 1 से कम सभी वास्तविक संख्याओं पर f संतत है।
दशा 2 यदि c > 1, तो f(c) = c - 2 है।
इसलिए $\lim \limits_{x \rightarrow c}$ f(x) = $\lim \limits_{x \rightarrow c}$ (x - 2) = c - 2 = f(c) है। अतएव उन सभी बिंदुओं पर जहाँ x > 1 है, f संतत है।
अतएव उन सभी बिंदुओं पर जहाँ x > 1 है, f संतत है। दशा 3 यदि c = 1, तो x = 1 पर f के बाएँ पक्ष की सीमा, अर्थात्
$\lim \limits_{x \rightarrow 1^{-}}$ f(x) = $\lim \limits_{x \rightarrow 1^{-}}$ (x + 2) = 1 + 2 = 3
x = 1 पर f के दाएँ पक्ष की सीमा, अर्थात्
$\lim \limits_{x \rightarrow 1^{+}}$ f(x) = $\lim \limits_{x \rightarrow 1^{-}}$(x - 2) = 1 - 2 = - 1
अब चूँकि x = 1 पर f के बाएँ तथा दाएँ पक्ष की सीमाएँ संपाती (coincident) नहीं हैं, अतः x = 1 पर f संतत नहीं है। इस प्रकार f के असांतत्य का बिंदु केवल मात्र x = 1 है। इस फलन का आलेख आकृति में दर्शाया गया है।
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