निम्नलिखित रेखा$-$युग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए: $\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+3}{-3}$ और $\frac{x+2}{-1}=\frac{y-4}{8}=\frac{z-5}{4}$
Exercise-11.2-11(1)
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दी गई रेखाओं के समीकरण निम्न हैं,
$\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+3}{-3}$ तथा $\frac{x+2}{-1}=\frac{y-4}{8}=\frac{z-5}{4}$ [$\because$ यदि $\frac{x-x_{1}}{a_{1}}=\frac{y-y_{1}}{b_{1}}=\frac{z-z_{1}}{c_{1}}$ रेखा का समीकरण है तब इसके दिक् अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ होंगे।$]$
$\therefore$ दोनों रेखाओं के दिक् अनुपात क्रमशः $(2, 5, -3)$ तथा $(-1, 8, 4)$ होंगे।
माना $\theta$ दोनों रेखाओं के बीच का न्यून कोण है, तब
$\cos \theta = \frac{a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}+c_{1} c_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}} \sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}$
$\Rightarrow \cos \theta = \frac{2 \times(-1)+5 \times 8+(-3) \times 4}{\sqrt{2^{2}+5^{2}+(-3)^{2}} \sqrt{(-1)^{2}+8^{2}+4^{2}}}$
$=\frac{-2+40-12}{\sqrt{4+25+9} \sqrt{1+64+16}}$
$=\frac{26}{\sqrt{38} \sqrt{81}}=\frac{26}{9 \sqrt{38}}$
$\Rightarrow \theta = \cos^{-1} \left(\frac{26}{9 \sqrt{38}}\right)$
$\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+3}{-3}$ तथा $\frac{x+2}{-1}=\frac{y-4}{8}=\frac{z-5}{4}$ [$\because$ यदि $\frac{x-x_{1}}{a_{1}}=\frac{y-y_{1}}{b_{1}}=\frac{z-z_{1}}{c_{1}}$ रेखा का समीकरण है तब इसके दिक् अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ होंगे।$]$
$\therefore$ दोनों रेखाओं के दिक् अनुपात क्रमशः $(2, 5, -3)$ तथा $(-1, 8, 4)$ होंगे।
माना $\theta$ दोनों रेखाओं के बीच का न्यून कोण है, तब
$\cos \theta = \frac{a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}+c_{1} c_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}} \sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}$
$\Rightarrow \cos \theta = \frac{2 \times(-1)+5 \times 8+(-3) \times 4}{\sqrt{2^{2}+5^{2}+(-3)^{2}} \sqrt{(-1)^{2}+8^{2}+4^{2}}}$
$=\frac{-2+40-12}{\sqrt{4+25+9} \sqrt{1+64+16}}$
$=\frac{26}{\sqrt{38} \sqrt{81}}=\frac{26}{9 \sqrt{38}}$
$\Rightarrow \theta = \cos^{-1} \left(\frac{26}{9 \sqrt{38}}\right)$
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