प्रवणता $- 1$ वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र $y = \frac{1}{x-1}, x \neq - 1$ को स्पर्श करती है।
Exercise-6.3-10
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दिए गए वक्र का समीकरण $y = \frac{1}{x-1}, x \neq 1 ...(i)$
किसी बिंदु $(x, y)$ पर दिए गए वक्र की स्पर्श रेखा की प्रवणता, $\frac{d y}{d x} = \frac{-1}{(x-1)^{2}} ...(i)$
स्पर्श रेखा, जिसकी प्रवणता $= - 1$ है, $- 1 = \frac{-1}{(x-1)^{2}}$
$\Rightarrow (x - 1)^2 = 1 \Rightarrow x - 1 = \pm 1 \Rightarrow x = 1 \pm 1 = 2, 0$
जब $x = 2$, तब समी $(i)$ से, $y = \frac{1}{2-1} = 1$
जब $x = 0$, तब समी $(i)$ से, $y = \frac{1}{0-1} = -1$
इसलिए, दिए गए वक्र की स्पर्श रेखा, जिसकी प्रवणता $-1$ है, पर बिंदु $(2, 1)$ और $(0, -1)$ हैं।
$\therefore (2, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 1 = - 1(x - 2)$ या $x + y - 3 = 0 और (0, -1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण, $y - (- 1) = - 1(x - 0)$ या $x + y + 1 = 0$
अतः आवश्यक रेखाओं का समीकरण $x + y - 3 = 0$ और $x + y + 1 = 0$ है।
किसी बिंदु $(x, y)$ पर दिए गए वक्र की स्पर्श रेखा की प्रवणता, $\frac{d y}{d x} = \frac{-1}{(x-1)^{2}} ...(i)$
स्पर्श रेखा, जिसकी प्रवणता $= - 1$ है, $- 1 = \frac{-1}{(x-1)^{2}}$
$\Rightarrow (x - 1)^2 = 1 \Rightarrow x - 1 = \pm 1 \Rightarrow x = 1 \pm 1 = 2, 0$
जब $x = 2$, तब समी $(i)$ से, $y = \frac{1}{2-1} = 1$
जब $x = 0$, तब समी $(i)$ से, $y = \frac{1}{0-1} = -1$
इसलिए, दिए गए वक्र की स्पर्श रेखा, जिसकी प्रवणता $-1$ है, पर बिंदु $(2, 1)$ और $(0, -1)$ हैं।
$\therefore (2, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 1 = - 1(x - 2)$ या $x + y - 3 = 0 और (0, -1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण, $y - (- 1) = - 1(x - 0)$ या $x + y + 1 = 0$
अतः आवश्यक रेखाओं का समीकरण $x + y - 3 = 0$ और $x + y + 1 = 0$ है।
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