एक पाइप से रेत $12 \ cm^3/s$ की दर से गिर रही है। गिरती रेत जमीन पर एक ऐसा शंकु बनाती है जिसकी ऊँचाई सदैव आधार की त्रिज्या का छठा भाग है। रेत से बने के शंकु की ऊँचाई किस दर से बढ़ रही है जबकि ऊँचाई $4 \ cm$ है?
Exercise-6.1-14
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मान लीजिए कि त्रिज्या $r,$ ऊँचाई $h$ और आयतन $V$ है।
यह दिया है, $\frac{d V}{d t} = 12 $सेमी$^3$/ से और $h = \frac{1}{6}r $
$\Rightarrow r = 6h$
अब, $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h = \frac{1}{3} \pi(6 h)^2 h = 12\pi h^3$
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{d V}{d t} = (12\pi) \left(3 h^{2} \frac{d h}{d t}\right) = 36\pi h^2 \frac{d h}{d t}$
$\therefore 12 = 36 \pi(4)^2 \frac{d h}{d t} (\because h = 4$ सेमी और $\frac{d V}{d t} = 12$ सेमी/से$)$
$\Rightarrow \frac{d h}{d t} = \frac{12}{36 \pi \times 16} = \frac{1}{48 \pi}$ सेमी/से
अतः जब ऊँचाई $4$ सेमी है, तो रेत से बने शंकु की ऊँचाई $\frac{1}{48 \pi}$ सेमी/से की दर से बढ़ रही है।
यह दिया है, $\frac{d V}{d t} = 12 $सेमी$^3$/ से और $h = \frac{1}{6}r $
$\Rightarrow r = 6h$
अब, $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h = \frac{1}{3} \pi(6 h)^2 h = 12\pi h^3$
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{d V}{d t} = (12\pi) \left(3 h^{2} \frac{d h}{d t}\right) = 36\pi h^2 \frac{d h}{d t}$
$\therefore 12 = 36 \pi(4)^2 \frac{d h}{d t} (\because h = 4$ सेमी और $\frac{d V}{d t} = 12$ सेमी/से$)$
$\Rightarrow \frac{d h}{d t} = \frac{12}{36 \pi \times 16} = \frac{1}{48 \pi}$ सेमी/से
अतः जब ऊँचाई $4$ सेमी है, तो रेत से बने शंकु की ऊँचाई $\frac{1}{48 \pi}$ सेमी/से की दर से बढ़ रही है।
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