अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के बिंदु $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ पर स्पर्श रेखा तथा अभिलंब के समीकरण ज्ञात कीजिए।
Exercise-6.3-24
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दिए गए वक्र का समीकरण है$, \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 ...(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{2 x}{a^{2}} - \frac{2 y}{b^{2}} \frac{d y}{d x} = 0$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{b^{2} x}{a^{2} y}$
$\therefore (x_0, y_0)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता$, = \left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(x_{0}, y_{0}\right)} = \frac{b^{2} x_{0}}{a^{2} y_{0}}$
अतः $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण
$\frac{y-y_{0}}{x-x_{0}} = \frac{b^{2} x_{0}}{a^{2} y_{0}}$
$\Rightarrow \frac{y_{0}\left(y-y_{0}\right)}{b^{2}} = \left(x-x_{0}\right) \frac{x_{0}}{a^{2}}$
$\Rightarrow \frac{y-y_{0}}{b^{2}} - \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = \frac{x x_{0}}{a^{2}} - \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}$
$\frac{x x_{0}}{a^{2}} - \frac{y y_{0}}{b^{2}} = \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} - \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}$
$\Rightarrow \frac{x x_{0}}{a^{2}} - \frac{y y_{0}}{b^{2}} = 1 [\because \left(x_{0}, y_{0}\right)$ समी $(i)$ अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ को संतुष्ट करता है]
अब$, \left(x_{0}, y_{0}\right)$ पर अभिलंब का समीकरण,
इसलिए$, \left(x_{0}, y_{0}\right)$ पर अभिलंब का समीकरण
$\frac{y-y_{0}}{x-x_{0}} = \frac{a^{2} y_{0}}{b^{2} x_{0}} \left(x-x_{0}\right)$
$\Rightarrow \frac{y-y_{0}}{a^{2} y_{0}} = - \frac{x-x_{0}}{b^{2} x_{0}}$
$\Rightarrow \frac{y-y_{0}}{a^{2} y_{0}} + \frac{x-x_{0}}{b^{2} x_{0}} = 0$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{2 x}{a^{2}} - \frac{2 y}{b^{2}} \frac{d y}{d x} = 0$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{b^{2} x}{a^{2} y}$
$\therefore (x_0, y_0)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता$, = \left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(x_{0}, y_{0}\right)} = \frac{b^{2} x_{0}}{a^{2} y_{0}}$
अतः $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण
$\frac{y-y_{0}}{x-x_{0}} = \frac{b^{2} x_{0}}{a^{2} y_{0}}$
$\Rightarrow \frac{y_{0}\left(y-y_{0}\right)}{b^{2}} = \left(x-x_{0}\right) \frac{x_{0}}{a^{2}}$
$\Rightarrow \frac{y-y_{0}}{b^{2}} - \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = \frac{x x_{0}}{a^{2}} - \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}$
$\frac{x x_{0}}{a^{2}} - \frac{y y_{0}}{b^{2}} = \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} - \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}$
$\Rightarrow \frac{x x_{0}}{a^{2}} - \frac{y y_{0}}{b^{2}} = 1 [\because \left(x_{0}, y_{0}\right)$ समी $(i)$ अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ को संतुष्ट करता है]
अब$, \left(x_{0}, y_{0}\right)$ पर अभिलंब का समीकरण,
इसलिए$, \left(x_{0}, y_{0}\right)$ पर अभिलंब का समीकरण
$\frac{y-y_{0}}{x-x_{0}} = \frac{a^{2} y_{0}}{b^{2} x_{0}} \left(x-x_{0}\right)$
$\Rightarrow \frac{y-y_{0}}{a^{2} y_{0}} = - \frac{x-x_{0}}{b^{2} x_{0}}$
$\Rightarrow \frac{y-y_{0}}{a^{2} y_{0}} + \frac{x-x_{0}}{b^{2} x_{0}} = 0$
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