एक निशानेबाज के लक्ष्य-भेदन की प्रायिकता $\frac{3}{4}$ है। वह कम से कम कितनी बार गोली चलाए कि लक्ष्य को कम से कम एक बार भेदने की प्रायिकता 0.99 से अधिक हो?
example-35
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मान लीजिए कि निशानेबाज n बार गोली चलाता है। निस्संदेह n बार गोली चलाना n बरनौली परीक्षण हैं।
p = प्रत्येक परीक्षण में लक्ष्य भेदन की प्रायिकता = $\frac{3}{4}$ और q = लक्ष्य को न भेदने की प्रायिकता = $\frac{1}{4}$
तब $\mathrm{P}(\mathrm{X}=x)$ = ${ }^{n} \mathrm{C}_{x} q^{n-x} p^{x}$$={ }^{n} \mathrm{C}_{x}\left(\frac{1}{4}\right)^{n-x}\left(\frac{3}{4}\right)^{x}$$={ }^{n} \mathrm{C}_{x} \frac{3^{x}}{4^{n}}$
अब दिया है
P(न्यूनतम एक बार लक्ष्य भेदन) > 0.99
अर्थात् P(x $\geq$ 1) > 0.99
इसलिए 1 - P(x = 0) > 0.99
या 1 - ${ }^{n} \mathrm{C}_{0} \frac{1}{4^{n}}$ > 0.99
या
${ }^{4} \mathrm{C}_{0} \frac{1}{4^{n}}$ < 0.01 अर्थात् $\frac{1}{4^{n}}$ < 0.01
$4^{n}>\frac{1}{0.01}$ = 100...(i)
असमिका (i) को संतुष्ट करने वाली n की न्यूनतम मान 4 है।
अतः निशानेबाज को कम से कम 4 गोली चलानी होगी।
p = प्रत्येक परीक्षण में लक्ष्य भेदन की प्रायिकता = $\frac{3}{4}$ और q = लक्ष्य को न भेदने की प्रायिकता = $\frac{1}{4}$
तब $\mathrm{P}(\mathrm{X}=x)$ = ${ }^{n} \mathrm{C}_{x} q^{n-x} p^{x}$$={ }^{n} \mathrm{C}_{x}\left(\frac{1}{4}\right)^{n-x}\left(\frac{3}{4}\right)^{x}$$={ }^{n} \mathrm{C}_{x} \frac{3^{x}}{4^{n}}$
अब दिया है
P(न्यूनतम एक बार लक्ष्य भेदन) > 0.99
अर्थात् P(x $\geq$ 1) > 0.99
इसलिए 1 - P(x = 0) > 0.99
या 1 - ${ }^{n} \mathrm{C}_{0} \frac{1}{4^{n}}$ > 0.99
या
${ }^{4} \mathrm{C}_{0} \frac{1}{4^{n}}$ < 0.01 अर्थात् $\frac{1}{4^{n}}$ < 0.01
$4^{n}>\frac{1}{0.01}$ = 100...(i)
असमिका (i) को संतुष्ट करने वाली n की न्यूनतम मान 4 है।
अतः निशानेबाज को कम से कम 4 गोली चलानी होगी।
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