यदि $R_1$ तथा $R_2$ समुच्चय $A $में तुल्यता संबंध हैं, तो सिद्ध कीजिए कि$ R_1 \cap R_2$ भी एक तुल्यता संबंध है।
example-41
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क्योंकि $R_1$ तथा $R_2$ तुल्यता संबंध है इसलिए $(a, a) \in R_{1,}$ तथा $(a, a) \in R_2, \forall a \in A$
इसका तात्पर्य है कि $(a, a) \in R_1 \cap R_2 \forall a,$
जिससे सिद्ध होता है कि $R1 \cap R_2$ स्वतुल्य है।
पुनः $(a, b)\in R_1 \cap R_2 $
$\Rightarrow(a, b) \in R1$ तथा $(a, b)\in R_2 $
$\Rightarrow (b, a) \in R_1$ तथा $(b, a) \in R_2$
$\Rightarrow (b, a) \in R_1 \cap R_2,$ अतः $R_1 \cap R_2$ सममित है।
इसी प्रकार $(a, b) \in R_1 \cap R_2$ तथा $(b, c) \in R_1 \cap R_2 $
$\Rightarrow (a, c) \in R_1$ तथा $(a, c) \in R_2 $
$\Rightarrow(a, c) \in R_1 \cap R_2.$
इससे सिद्ध होता है कि $R_1 \cap R_2$ संक्रामक है।
अतः $R_1 \cap R_2$ एक तुल्यता संबंध है।
इसका तात्पर्य है कि $(a, a) \in R_1 \cap R_2 \forall a,$
जिससे सिद्ध होता है कि $R1 \cap R_2$ स्वतुल्य है।
पुनः $(a, b)\in R_1 \cap R_2 $
$\Rightarrow(a, b) \in R1$ तथा $(a, b)\in R_2 $
$\Rightarrow (b, a) \in R_1$ तथा $(b, a) \in R_2$
$\Rightarrow (b, a) \in R_1 \cap R_2,$ अतः $R_1 \cap R_2$ सममित है।
इसी प्रकार $(a, b) \in R_1 \cap R_2$ तथा $(b, c) \in R_1 \cap R_2 $
$\Rightarrow (a, c) \in R_1$ तथा $(a, c) \in R_2 $
$\Rightarrow(a, c) \in R_1 \cap R_2.$
इससे सिद्ध होता है कि $R_1 \cap R_2$ संक्रामक है।
अतः $R_1 \cap R_2$ एक तुल्यता संबंध है।
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