मान लीजिए बिंदु $A$ और $B$ पर क्रमशः $AP$ तथा $BQ$ दो उध्वर्धर स्तंभ है। यदि $AP = 16 m, BQ = 22 m$ और $AB = 20m$ हों तो $AB$ पर एक ऐसा बिंदु $R$ ज्ञात कीजिए ताकि $RP^{2 }+ RQ^2$ निम्नतम हो।
EXAMPLE-36
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मान लीजिए $AB$ पर एक बिंदु $R$ इस प्रकार है $AR = x m$ है। तब $RB = (20 - x) m ($क्योंकि $AB = 20 n$ से$)$
$RP^{2 }= AR^{2 }+ AP^2$
और $RQ^{2 }= RB^{2 }+ BQ^2$
इसलिए $RP^2 + RQ^2 = AR^2 + AP^2 + RB^2 + BQ^2$
$= x^2 + (16)^2 + (20 - x)^2+ (22)^2$
$= 2x^{2 }- 40x + 1140$
मान लीजिए कि $S \equiv S (x) = RP^2 + RQ^2 = 2x^{2 }- 40x + 1140$ है।
अतः $S^{\prime}(x) = 4x - 40$ है।
अब $S^{\prime}(x) = 0$ से $x = 10$ प्राप्त होता है और सभी $x$ के लिए $S^{\prime \prime}(x) = 4 > 0$ है और इसलिए $S^{\prime \prime}(10) > 0$ है। इसलिए द्वितीय अवकलज परीक्षण से $x = 10, S$ का स्थानीय निम्नतम का बिंदु है। अतः $AB$ पर $R$ की $A$ से दूरी $AR = x = 10 m$ है।
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