सिद्ध कीजिए कि यदि $x$ और $y$ दोनों धनात्मक विषम पूर्णांक हैं, तो $x^{2 }+ y^2$ एक सम संख्या है, परंतु $4$ से विभाज्य नहीं है।
Exercise-1.3-7
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चूँकि $x$ और $y$ विषम धनात्मक पूर्णांक हैं, तो उनमें से प्रत्येक $2r + 1$ के रूप में होना चाहिए $($जहाँ $r$ एक धनात्मक पूर्णांक है$)$
अतः मान लीजिए $x = 2m + 1$
और $y = 2n + 1 ($जहाँ $m$ और $n$ धनात्मक पूर्णांक हैं$)$
अब
$x^2 + y^2 = (2m + 1)^2 + (2n + 1)^2$
$= 4m^2 + 4m + 1 + 4n^2 + 4n + 1$
$= 4(m^2 + n^2 + m + n) + 2 ...(1)$ से हमें
$x^2 + y^2 = 2(m^2 + n^2 + m + n) + 1 = 2t$ प्राप्त होता है।
जहाँ $t = (m^2 + n^2 + m + n) + 1$ एक धनात्मक पूर्णांक है।
अतः स्पष्ट है कि $x^2 + y^2$ एक सम संख्या है लेकिन $4$ से विभाज्य नहीं है।
अतः मान लीजिए $x = 2m + 1$
और $y = 2n + 1 ($जहाँ $m$ और $n$ धनात्मक पूर्णांक हैं$)$
अब
$x^2 + y^2 = (2m + 1)^2 + (2n + 1)^2$
$= 4m^2 + 4m + 1 + 4n^2 + 4n + 1$
$= 4(m^2 + n^2 + m + n) + 2 ...(1)$ से हमें
$x^2 + y^2 = 2(m^2 + n^2 + m + n) + 1 = 2t$ प्राप्त होता है।
जहाँ $t = (m^2 + n^2 + m + n) + 1$ एक धनात्मक पूर्णांक है।
अतः स्पष्ट है कि $x^2 + y^2$ एक सम संख्या है लेकिन $4$ से विभाज्य नहीं है।
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