सिद्ध कीजिए कि y = log (1 + x) - $\frac{2 x}{2+x}$, x > - 1, अपने संपूर्ण प्रांत में एक वर्धमान फलन है।
Exercise-6.2-7
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दिया है, y = log (1 + x) - $\frac{2 x}{(2+x)}$
अवकलन करने पर, $\frac{d y}{d x}$ = $ \frac{d y}{d x}$ [log (1 + x) - $\frac{2 x}{2+x}$]
= $\frac{1}{1+x}$ - $\frac{(2+x) \frac{d}{d x}(2 x)-2 x \frac{d}{d x}(2+x)}{(2+x)^{2}}$
= $\frac{1}{1+x}$ - $\frac{4+2 x-2 x}{(2+x)^{2}}$ $\frac{1}{1+x}$ - $\frac{4}{(2+x)^{2}}$ = $\frac{(2+x)^{2}-4(1+x)}{(1+x)(2+x)^{2}}$
= $\frac{4+x^{2}+4 x-4-4 x}{(1+x)(2+x)^{2}}$ = $\frac{x^{2}}{(1+x)(2+x)^{2}}$
जब x $\in$(- 1,$ \infty$), तब $\frac{x^{2}}{(2+x)^{2}}$ > 0 और (1 + x) > 0 $\therefore$ y$^{\prime}$ > 0 जब x > - 1
अतः, y अपने संपूर्ण (x > - 1) प्रांत में एक वर्धमान फलन है।
अवकलन करने पर, $\frac{d y}{d x}$ = $ \frac{d y}{d x}$ [log (1 + x) - $\frac{2 x}{2+x}$]
= $\frac{1}{1+x}$ - $\frac{(2+x) \frac{d}{d x}(2 x)-2 x \frac{d}{d x}(2+x)}{(2+x)^{2}}$
= $\frac{1}{1+x}$ - $\frac{4+2 x-2 x}{(2+x)^{2}}$ $\frac{1}{1+x}$ - $\frac{4}{(2+x)^{2}}$ = $\frac{(2+x)^{2}-4(1+x)}{(1+x)(2+x)^{2}}$
= $\frac{4+x^{2}+4 x-4-4 x}{(1+x)(2+x)^{2}}$ = $\frac{x^{2}}{(1+x)(2+x)^{2}}$
जब x $\in$(- 1,$ \infty$), तब $\frac{x^{2}}{(2+x)^{2}}$ > 0 और (1 + x) > 0 $\therefore$ y$^{\prime}$ > 0 जब x > - 1
अतः, y अपने संपूर्ण (x > - 1) प्रांत में एक वर्धमान फलन है।
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