तीन सिक्के दिए गए हैं। एक सिक्के के दोनों ओर चित ही है। दूसरा सिक्का अभिनत है जिसमें चित $75\%$ बार प्रकट होता है और तीसरा अनभिनत सिक्का है। तीनों में से एक सिक्के को यादृच्छया चुना गया और उसे उछाला गया है। यदि सिक्के पर चित प्रकट हो, तो क्या प्रायिकता है कि वह दोनों चित वाला सिक्का है?
Exercise-13.3-6
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मान लीजिए घटना $E_1$ 'चयनित सिक्के दोनो ओर चित हो ' घटना $E_2$ 'चयनित सिक्का एक अनभिनत पासा है' तथा घटना E_3' चयनित सिक्का एक अनभिनत पासा है को निरूपित करता है।
अतः $E_1, E_2, E_3$ प्रस्पर अपवर्जी तथा परिपूर्ण घटनाएँ हैं तथा
$P(E_1) = P\left(E_{2}\right) =P\left(E_{3}\right) =\frac{1}{3}$
मान लीजिए घटना $E$ 'उछाले गए सिक्के पर चित प्रकट होने' की घटना को निरूपित करता है।
$\therefore P \left(\frac{E}{E_{1}}\right) = P \ ($सिक्के पर चित प्रकट हो, ज्ञात है कि वह दोनों चित वाला सिक्का है$) = 1$
P$\left(\frac{E}{E_{2}}\right) = P \ ($सिक्के पर चित प्रकट हो, ज्ञात है कि यह एक अभिनत सिक्का है$)$
$= 75\% = \frac{75}{100}=\frac{3}{4}$
$P \left(\frac{E}{E_{3}}\right)= P \ ($सिक्के पर चित प्रकट हो, ज्ञात है कि यह एक अनभिनत सिक्का है$) = \frac{1}{2}$
सिक्के के दोनों चित वाला होने की प्रायिकता, जबकि चित प्रकट हो, को $ P \left(\frac{E_{1}}{E}\right)$ द्वारा निरूपित करते हैं।
बेज प्रमेय के प्रयोग से, $P\left(\frac{E_{1}}{E}\right)$= $ \frac{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)}{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)+P\left(\frac{E}{E_{2}}\right) P\left(E_{2}\right)+P\left(\frac{E}{E_{3}}\right) P\left(E_{3}\right)}$
= $\frac{1 \times \frac{1}{3}}{1 \times \frac{1}{3}+\frac{3}{4} \times \frac{1}{3}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}}$ = $\frac{1}{1+\frac{3}{4}+\frac{1}{2}}$ = $\frac{1}{\frac{4+3+2}{4}}$ = $\frac{4}{9}$
अतः $E_1, E_2, E_3$ प्रस्पर अपवर्जी तथा परिपूर्ण घटनाएँ हैं तथा
$P(E_1) = P\left(E_{2}\right) =P\left(E_{3}\right) =\frac{1}{3}$
मान लीजिए घटना $E$ 'उछाले गए सिक्के पर चित प्रकट होने' की घटना को निरूपित करता है।
$\therefore P \left(\frac{E}{E_{1}}\right) = P \ ($सिक्के पर चित प्रकट हो, ज्ञात है कि वह दोनों चित वाला सिक्का है$) = 1$
P$\left(\frac{E}{E_{2}}\right) = P \ ($सिक्के पर चित प्रकट हो, ज्ञात है कि यह एक अभिनत सिक्का है$)$
$= 75\% = \frac{75}{100}=\frac{3}{4}$
$P \left(\frac{E}{E_{3}}\right)= P \ ($सिक्के पर चित प्रकट हो, ज्ञात है कि यह एक अनभिनत सिक्का है$) = \frac{1}{2}$
सिक्के के दोनों चित वाला होने की प्रायिकता, जबकि चित प्रकट हो, को $ P \left(\frac{E_{1}}{E}\right)$ द्वारा निरूपित करते हैं।
बेज प्रमेय के प्रयोग से, $P\left(\frac{E_{1}}{E}\right)$= $ \frac{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)}{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)+P\left(\frac{E}{E_{2}}\right) P\left(E_{2}\right)+P\left(\frac{E}{E_{3}}\right) P\left(E_{3}\right)}$
= $\frac{1 \times \frac{1}{3}}{1 \times \frac{1}{3}+\frac{3}{4} \times \frac{1}{3}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}}$ = $\frac{1}{1+\frac{3}{4}+\frac{1}{2}}$ = $\frac{1}{\frac{4+3+2}{4}}$ = $\frac{4}{9}$
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