वे अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें $f(x) = 4x^{3 }- 6x^{2 }- 72x + 30$ द्वारा प्रदत्त फलन $f, (a)$ वर्धमान $(b)$ हासमान है।
EXAMPLE-11
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यहाँ $f(x) = 4x^{3 }- 6x^{2 }- 72x + 30$
या $f^{\prime}(x) = 12x^{2 }- 12x - 72$
$= 12(x^2- x - 6)$
$= 12(x - 3)(x + 2)$
इसलिए $f^{\prime}(x) = 0$ से $x = -2, 3$ प्राप्त होते हैं। $x = -2$ और $x = 3$ वास्तविक रेखा को तीन असंयुक्त अंतरालों, नामतः $(- \infty,-2),(-2,3)$ और $(3, \infty)$ में विभक्त करता है । अंतरालों $(-\infty,-2)$ और $(3,\infty)$ में $f^{\prime}(x)$ धनात्मक है जबकि अंतराल $(-2,3)$ में $f^{\prime}(x)$ ऋणात्मक है। फलस्वरूप फलन $f$ अंतरालों $(-\infty,-2)$ और $(3,\infty)$ में वर्धमान है जबकि अंतराल $(- 2,3)$ में फलन ह्यसमान है। तथापि $f, R$ पर न तो वर्धमान है और न ही ह्यासमान है।
या $f^{\prime}(x) = 12x^{2 }- 12x - 72$
$= 12(x^2- x - 6)$
$= 12(x - 3)(x + 2)$
इसलिए $f^{\prime}(x) = 0$ से $x = -2, 3$ प्राप्त होते हैं। $x = -2$ और $x = 3$ वास्तविक रेखा को तीन असंयुक्त अंतरालों, नामतः $(- \infty,-2),(-2,3)$ और $(3, \infty)$ में विभक्त करता है । अंतरालों $(-\infty,-2)$ और $(3,\infty)$ में $f^{\prime}(x)$ धनात्मक है जबकि अंतराल $(-2,3)$ में $f^{\prime}(x)$ ऋणात्मक है। फलस्वरूप फलन $f$ अंतरालों $(-\infty,-2)$ और $(3,\infty)$ में वर्धमान है जबकि अंतराल $(- 2,3)$ में फलन ह्यसमान है। तथापि $f, R$ पर न तो वर्धमान है और न ही ह्यासमान है।
| अंतराल | $f^{\prime}(x)$ का चिह्न | फलन $f$ की प्रकृति |
| $(-\infty ,-2)$ | $(-)(-) > 0$ | $f$ वर्धमान है |
| $(-2, 3)$ | $(-)(+) < 0$ | $f$ ह्रासमान है |
| $(3, \infty)$ | $(+)(+) > 0$ | $f$ वर्धमान है |
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